В некоторой системе координат известны компоненты вектора . В системе , получающейся из поворотом на угол вокруг оси , известны компоненты вектора . Найти скалярное произведение этих векторов.

1. Дано

1. Компоненты вектора $\vec{a}$ в системе $K$: $\vec{a} = \{a_x, a_y, a_z\} = \{1, -1, 1\}$.
2. Компоненты вектора $\vec{c}$ в системе $K'$: $\vec{c}' = \{c'_x, c'_y, c'_z\} = \{-1, 2, 2\}$.
3. Система $K'$ получается из $K$ поворотом на угол $\alpha = 30^{\circ}$ вокруг оси $x$.

2. Найти

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$: $\vec{a} \cdot \vec{c}$.

3. Решение

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$ не зависит от выбора системы координат. Если мы найдем компоненты вектора $\vec{c}$ в системе $K$ (обозначим их $\vec{c} = \{c_x, c_y, c_z\}$...