В потенциальной яме шириной в находится электрон на третьем энергетическом уровне. Определить, в каких точках интервала 0 < х < l плотность вероятности нахождения электрона равна 0. Определить вероятность того, что электрон находится на участке интервала

Для решения данной задачи воспользуемся моделью одномерной потенциальной ямы. В этой модели потенциальная яма имеет ширину $l$ и потенциальную энергию $V(x) = 0$ внутри ямы (то есть для $0 x l$) и $V(x) =...

Для электрона на $n$-ом энергетическом уровне в потенциальной яме волновая функция имеет вид:

$$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{l}} \sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right)$$

где $n$ — номер энергетического уровня. В данном случае $n = 3$.

Подставим $n = 3$:

$$\psi_3(x) = \sqrt{\frac{2}{l}} \sin\left(\frac{3\pi x}{l}\right)$$

Плотность вероятности нахождения электрона в точке $x$ определяется как квадрат модуля волновой функции:

$$P(x) = |\psi_3(x)|^2 = \left(\sqrt{\frac{2}{l}} \sin\left(\frac{3\pi x}{l}\right)\right)^2 = \frac{2}{l} \sin^2\left(\frac{3\pi x}{l}\right)$$

Плотность вероятности равна 0, когда $\sin\left(\frac{3\pi x}{l}\right) = 0$. Это происходит, когда:

$$\frac{3\pi x}{l} = n\pi \quad (n = 0, 1, 2, \ldots)$$

Отсюда:

$$x = \frac{n l}{3}$$

Теперь найдем значения $n$, при которых $0 x l$:

• Для $n = 1$: $x = \frac{l}{3}$
• Для $n = 2$: $x = \frac{2l}{3}$

Таким образом, плотность вероятности равна 0 в точках $x = \frac{l}{3}$ и $x = \frac{2l}{3}$.

Вероятность нахождения электрона на данном участке определяется интегралом плотности вероятности:

$$P\left(\frac{1}{3}l x \frac{2}{3}l\right) = \int{\frac{l}{3}}^{\frac{2l}{3}} \frac{2}{l} \sin^2\left(\frac{3\pi x}{l}\right) \, dx$$

Используем формулу для интеграла синуса в квадрате:

$$\sin^2(a) = \frac{1 - \cos(2a)}{2}$$

Тогда:

$$P(x) = \frac{2}{l} \cdot \frac{1 - \cos\left(\frac{6\pi x}{l}\right)}{2} = \frac{1}{l} - \frac{1}{l} \cos\left(\frac{6\pi x}{l}\right)$$

Теперь вычислим интеграл:

$$P\left(\frac{1}{3}l x \frac{2}{3}l\right) = \int_{\frac{l}{3}}^{\frac{2l}{3}} \left(\frac{1}{l} - \frac{1}{l} \cos\left(\frac{6\pi x}{l}\right)\right) \, dx$$

1. Интеграл от $\frac{1}{l}$:

$$\int_{\frac{l}{3}}^{\frac{2l}{3}} \frac{1}{l} \, dx = \frac{1}{l} \left( \frac{2l}{3} - \frac{l}{3} \right) = \frac{1}{l} \cdot \frac{l}{3} = \frac{1}{3}$$

2. Интеграл от $-\frac{1}{l} \cos\left(\frac{6\pi x}{l}\right)$:

$$-\frac{1}{l} \int{\frac{l}{3}}^{\frac{2l}{3}} = -\frac{1}{6\pi} \left( \sin(4\pi) - \sin(2\pi) \right) = 0$$

Таким образом, вероятность нахождения электрона на участке $\frac{1}{3}l x \frac{2}{3}l$:

$$P\left(\frac{1}{3}l x \frac{2}{3}l\right) = \frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{3}$$

Плотность вероятности равна 0 в точках $x = \frac{l}{3}$ и $x = \frac{2l}{3}$. Вероятность нахождения электрона на участке $\frac{1}{3}l x \frac{2}{3}l$ равна $\frac{1}{3}$.