В вакууме образовалось скопление зарядов с постоянной объёмной плотностью ρ заряда, имеющее форму шара радиусом R. Найдите: 1. Энергию электростатического поля во всём пространстве. 2. Во сколько раз изменится энергия при делении шара на два равных,

Для решения задачи начнем с первого пункта: найдем энергию электростатического поля во всём пространстве для заряженного шара с объёмно...

Энергия электростатического поля \( U \) в объёме \( V \) может быть найдена по формуле: \[ U = \frac{1}{2} \int \rho \phi \, dV \] где \( \phi \) — электрический потенциал, создаваемый зарядом. Для шара с равномерным распределением заряда, электрический потенциал \( \phi \) в точке на расстоянии \( r \) от центра шара (где \( r \leq R \)) будет: \[ \phi(r) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q}{r} + \frac{Q}{2R} \left( 3 - \frac{r^2}{R^2} \right) \right) \] где \( Q \) — полный заряд шара, который равен: \[ Q = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \] Для точки вне шара (где \( r R \)) потенциал будет: \[ \phi(r) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r} \] Теперь мы можем выразить энергию \( U \) через интеграл. Для этого разделим интеграл на две части: внутреннюю (где \( r \leq R \)) и внешнюю (где \( r R \)). 1. (для \( r \leq R \)): \[ U0^R \rho \phi(r) \cdot 4\pi r^2 \, dr \] 2. (для \( r R \)): \[ UR^\infty \rho \phi(r) \cdot 4\pi r^2 \, dr \] Объединив оба интеграла, получим полную энергию \( U \). Теперь рассмотрим второй пункт: во сколько раз изменится энергия при делении шара на два равных, бесконечно удалённых друг от друга шара. Когда мы делим шар на два равных шара, каждый из которых имеет объёмную плотность заряда \( \rho \) и радиус \( R/2 \), то: - Полный заряд каждого нового шара будет \( Q = \frac{Q}{2} \). - Энергия каждого нового шара будет равна: \[ U = \frac{1}{2} \int \rho \phi \, dV \] где \( \phi \) — потенциал нового шара. Энергия двух новых шаров будет: \[ U_{new} = 2U \] Теперь мы можем сравнить \( U_{new} \) и \( U \): \[ \frac{U_{new}}{U} = \frac{2U}{U} \] После вычислений мы можем заметить, что энергия при делении на два шара увеличивается, так как каждый из новых шаров создает своё поле, и взаимодействие между ними отсутствует. 1. Энергия электростатического поля во всём пространстве для одного шара: \( U \). 2. Энергия при делении на два шара увеличивается в 2 раза, то есть \( \frac{U_{new}}{U} = 2 \).