Волновая функция свободно движущейся частицы имеет вид: а) ψ(x) = C sin kx, б) ψ(x) = C (cos kx + isin kx) , в) ψ(x, y) = C cos kx cos 2ky. Имеет ли частица определенные значения энергии и импульса? Какие значения этих величин и с какими вероятностями

Для ответа на этот вопрос воспользуемся операторами энергии (Гамильтониана) $\hat{H}$ и импульса $\hat{p}$ в квантовой механике:

• Оператор импульса: $\hat{p}_x = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$
• Оператор энергии (для свободной частицы): $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}$

Частица имеет определенное значение физической величины, если волновая функция является собственной функцией соответствующего оператора: $\hat{A} \psi = a \psi$, где $a$ — собственное значение.

а) $\psi(x) = C \sin kx$

Импульс: $\hat{p}_x \psi = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} (C \sin kx) = -i\hbar C k \cos kx$. Функция $\cos kx$ не пропорциональна $\sin kx$, значит, определенного значения импульса нет. Так как $\sin kx = \frac{e^{ikx} - e^{-ikx}}{2i}$, частица находится в суперпозиции состояний с импульсами $p = \hbar k$ и $p = -\hbar k$ с равными вероятностями по $50\%$.

Энергия: $\hat{H} \psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} (C \sin kx) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} (C \sin kx)$. Это собственная функция оператора $\hat{H}$. Энергия определена и равна $E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$ (вероятность $100\%$).

б) $\psi(x) = C ( \cos kx + i \sin kx ) = C e^{ikx}$

Импульс: $\hat{p}_x \psi = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} (C e^{ikx}) = -i\hbar (ik) C e^{ikx} = (\hbar k) \psi$...