3691. Вычислить массу тела, ограниченного параболоидом x2+y2=2 a z и сферой x2+y2+z2=3 a2(z>0), если плотность в каждой точке равна сумме квадратов координат.

Для решения задачи начнем с определения массы тела, ограниченного параболоидом и сферой. Плотность в каждой точке равна сумме квадратов координат, то есть: ρ(x, y, z) = x² + y² + z². 1. Определим границы интегрирования. Параболоид задан уравнением x² + y² = 2az, а сфера — уравнением x² + y² + z² = 3a². Из уравнения параболоид можно выразить z: z = (x² + y²) / (2a). Подставим это в уравнение сферы: x² + y² + ((x² + y²) / (2a))² = 3a². Обозначим r² = x² + y². Тогда уравнение сферы можно записать как: r² + (r² / (2a))² = 3a². Упростим это уравнение: r² + r⁴ / (4a²) = 3a². Умножи...