Зависимость пути от времени для материальной точки формулой s=6t4-3t3+5t2-1 (м). Найти скорость и ускорение в момент времени t=3c

Для нахождения скорости и ускорения материальной точки, заданной ...

Скорость $v(t)$ является производной пути по времени. То есть, нам нужно вычислить первую производную функции $s(t)$.

$$v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^4 - 3t^3 + 5t^2 - 1)$$

Вычислим производную:

1. Производная $6t^4$ равна $24t^3$.
2. Производная $-3t^3$ равна $-9t^2$.
3. Производная $5t^2$ равна $10t$.
4. Производная константы $-1$ равна $0$.

Таким образом, получаем:

$$v(t) = 24t^3 - 9t^2 + 10t$$

Теперь подставим $t = 3$ секунды:

$$v(3) = 24(3^3) - 9(3^2) + 10(3)$$

Вычислим каждое слагаемое:

1. $3^3 = 27$, следовательно, $24 \cdot 27 = 648$.
2. $3^2 = 9$, следовательно, $-9 \cdot 9 = -81$.
3. $10 \cdot 3 = 30$.

Теперь подставим значения:

$$v(3) = 648 - 81 + 30 = 597 \, \text{м/с}$$

Ускорение $a(t)$ является производной скорости по времени. То есть, нам нужно вычислить вторую производную функции $s(t)$ или первую производную функции скорости $v(t)$.

$$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(24t^3 - 9t^2 + 10t)$$

Вычислим производную:

1. Производная $24t^3$ равна $72t^2$.
2. Производная $-9t^2$ равна $-18t$.
3. Производная $10t$ равна $10$.

Таким образом, получаем:

$$a(t) = 72t^2 - 18t + 10$$

Теперь подставим $t = 3$ секунды:

$$a(3) = 72(3^2) - 18(3) + 10$$

Вычислим каждое слагаемое:

1. $3^2 = 9$, следовательно, $72 \cdot 9 = 648$.
2. $-18 \cdot 3 = -54$.
3. Константа $10$.

Теперь подставим значения:

$$a(3) = 648 - 54 + 10 = 604 \, \text{м/с}^2$$

Таким образом, в момент времени $t = 3$ секунды:

• Скорость $v(3) = 597 \, \text{м/с}$
• Ускорение $a(3) = 604 \, \text{м/с}^2$