Для решения задачи начнем с определения объема металлического шара и объема цилиндра, в который он будет переплавлен.
Шаг 1: Найдем объем шара
Радиус шара \( r \) равен \( \sqrt[3]{9} \) дм.
Формула объема шара:
\[
V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi r^3
\]
Подставим значение радиуса:
\[
V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi (\sqrt[3]{9})^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 9 = 12\pi \text{ дм}^3
\]
Шаг 2: Найдем объем...
Объем цилиндра можно выразить через площадь основания и высоту:
\[
V{\text{основания}} \cdot h
\]
Площадь основания цилиндра \( S_{\text{основания}} \) равна \( \pi r^2 \), где \( r \) — радиус основания цилиндра.
Согласно условию, боковая поверхность цилиндра в 3 раза больше площади основания:
\[
S{\text{основания}}
\]
Формула боковой поверхности цилиндра:
\[
S_{\text{боковая}} = 2 \pi r h
\]
Подставим выражение для площади основания:
\[
2 \pi r h = 3 \cdot \pi r^2
\]
Сократим на \( \pi r \) (при условии, что \( r \neq 0 \)):
\[
2h = 3r
\]
Отсюда найдем высоту \( h \):
\[
h = \frac{3r}{2}
\]
Теперь подставим значение радиуса \( r = \sqrt[3]{9} \):
\[
h = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{9}}{2}
\]
Вычислим \( \sqrt[3]{9} \):
\[
\sqrt[3]{9} = 9^{1/3} = 3^{2/3}
\]
Теперь подставим это значение в формулу для высоты:
\[
h = \frac{3 \cdot 3^{2/3}}{2} = \frac{3^{1 + 2/3}}{2} = \frac{3^{5/3}}{2}
\]
Таким образом, высота цилиндра \( h \) равна:
\[
h = \frac{3^{5/3}}{2} \text{ дм}
\]
Для визуализации задачи можно представить следующий рисунок:
Где \( r \) — радиус основания цилиндра, а \( h \) — высота цилиндра.
Ответ: высота цилиндра \( h = \frac{3^{5/3}}{2} \) дм.
