3. Металлический шар радиуса ³корня из 9 дм переплавлен в цилиндр, боковая поверхность которого в 3 раза больше площади основания. Найдите высоту цилиндра (дм). Потерями металла при переплавке следует пренебречь. Рисунок приложи

Для решения задачи начнем с определения объема металлического шара и объема цилиндра, в который он будет переплавлен.

Шаг 1: Найдем объем шара

Радиус шара \( r \) равен \( \sqrt[3]{9} \) дм.

Формула объема шара:
\[
V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi r^3
\]

Подставим значение радиуса:
\[
V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi (\sqrt[3]{9})^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 9 = 12\pi \text{ дм}^3
\]

Шаг 2: Найдем объем...

Объем цилиндра можно выразить через площадь основания и высоту: \[ V{\text{основания}} \cdot h \] Площадь основания цилиндра \( S_{\text{основания}} \) равна \( \pi r^2 \), где \( r \) — радиус основания цилиндра. Согласно условию, боковая поверхность цилиндра в 3 раза больше площади основания: \[ S{\text{основания}} \] Формула боковой поверхности цилиндра: \[ S_{\text{боковая}} = 2 \pi r h \] Подставим выражение для площади основания: \[ 2 \pi r h = 3 \cdot \pi r^2 \] Сократим на \( \pi r \) (при условии, что \( r \neq 0 \)): \[ 2h = 3r \] Отсюда найдем высоту \( h \): \[ h = \frac{3r}{2} \] Теперь подставим значение радиуса \( r = \sqrt[3]{9} \): \[ h = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{9}}{2} \] Вычислим \( \sqrt[3]{9} \): \[ \sqrt[3]{9} = 9^{1/3} = 3^{2/3} \] Теперь подставим это значение в формулу для высоты: \[ h = \frac{3 \cdot 3^{2/3}}{2} = \frac{3^{1 + 2/3}}{2} = \frac{3^{5/3}}{2} \] Таким образом, высота цилиндра \( h \) равна: \[ h = \frac{3^{5/3}}{2} \text{ дм} \] Для визуализации задачи можно представить следующий рисунок: Где \( r \) — радиус основания цилиндра, а \( h \) — высота цилиндра. Ответ: высота цилиндра \( h = \frac{3^{5/3}}{2} \) дм.