4. Радиус вписанной окружности 4√30 см. Найдите: а) сторону правильного треугольника б) периметр треугольника; в) площадь треугольника; г) радиус описанной окружности.

Для решения задачи о правильном треугольнике с известным радиусом вписанной окружности, воспользуемся следующими формулами: 1. Радиус вписанной окружности \( r \) для правильного треугольника связан со стороной...

Из формулы для радиуса вписанной окружности: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \] Подставим известное значение радиуса \( r = 4\sqrt{30} \): \[ 4\sqrt{30} = \frac{a \sqrt{3}}{6} \] Умножим обе стороны на 6: \[ 24\sqrt{30} = a \sqrt{3} \] Теперь разделим обе стороны на \( \sqrt{3} \): \[ a = \frac{24\sqrt{30}}{\sqrt{3}} = 24\sqrt{10} \] Используем формулу для периметра: \[ P = 3a = 3 \cdot 24\sqrt{10} = 72\sqrt{10} \] Используем формулу для площади: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] Сначала найдем \( a^2 \): \[ a^2 = (24\sqrt{10})^2 = 576 \cdot 10 = 5760 \] Теперь подставим в формулу площади: \[ S = \frac{5760 \sqrt{3}}{4} = 1440\sqrt{3} \] Используем формулу для радиуса описанной окружности: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = 24\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = 24\sqrt{\frac{10}{3}} \] а) Сторона правильного треугольника: \( 24\sqrt{10} \) см б) Периметр треугольника: \( 72\sqrt{10} \) см в) Площадь треугольника: \( 1440\sqrt{3} \) см² г) Радиус описанной окружности: \( 24\sqrt{\frac{10}{3}} \) см