Условие:
Биссектрисы двух внутренних углов треугольника продолжили до пересечения с описанной окружностью и получили две равные хорды. Докажите, что этот треугольник равнобедренный.
Решение:
Рассмотрим треугольник ABC с описанной окружностью радиуса R. Обозначим через A₁ – вторую точку пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью, а через B₁ – вторую точку пересечения биссектрисы угла B с этой окружностью. Известно, что внутренний угол биссектрисы делит угол пополам, а пересечение биссектрисы с описанной окружностью имеет важное свойство: точка A₁ является серединой дуги BC (той, которая не содержит точку A), а точка B₁ – серединой дуги AC (без точки B). Это означает, что расстояние от вершины A до A₁ имеет красивое аналитическое выражен...