2 вариант 1. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 12 cm , а диагональ боковой грани - 13 cm . Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Для решения задачи о правильной треугольной призме, давайте сначала разберемся с данными: 1. Боковое ребро ...

Боковая грань призмы является прямоугольником, где одна сторона равна высоте призмы (12 см), а другая сторона равна стороне основания треугольной призмы (обозначим её \( a \)). По теореме Пифагора для диагонали боковой грани имеем: \[ d^2 = h^2 + a^2 \] Подставим известные значения: \[ 13^2 = 12^2 + a^2 \] \[ 169 = 144 + a^2 \] \[ a^2 = 169 - 144 \] \[ a^2 = 25 \] \[ a = 5 \text{ см} \] Площадь боковой поверхности призмы \( S_{бок} \) рассчитывается по формуле: \[ S{основания} \cdot h \] Где \( P_{основания} \) — периметр основания. Поскольку основание является правильным треугольником, его периметр равен: \[ P_{основания} = 3a = 3 \cdot 5 = 15 \text{ см} \] Теперь подставим значения в формулу для площади боковой поверхности: \[ S{основания} \cdot h = 15 \cdot 12 = 180 \text{ см}^2 \] Площадь полной поверхности \( S_{пол} \) призмы рассчитывается по формуле: \[ S{бок} + 2 \cdot S_{основания} \] Сначала найдем площадь основания \( S_{основания} \) правильного треугольника: \[ S_{основания} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Подставим значение \( a = 5 \) см: \[ S_{основания} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 5^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 25 = \frac{25\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \] Теперь подставим это значение в формулу для полной поверхности: \[ S{бок} + 2 \cdot S_{основания} = 180 + 2 \cdot \frac{25\sqrt{3}}{4} \] \[ S_{пол} = 180 + \frac{50\sqrt{3}}{4} = 180 + 12.5\sqrt{3} \text{ см}^2 \] Таким образом, площадь боковой поверхности призмы составляет \( 180 \text{ см}^2 \), а полная площадь поверхности призмы составляет \( 180 + 12.5\sqrt{3} \text{ см}^2 \).