Дан куб с длиной ребра 1 ед. изм. На ребре отмечена точка - так, что Определи синус угла между прямой и диагональной плоскостью . целое число).

Добавлена: 05.05.2026
Обновлена: 05.05.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Геометрические преобразования

Дан куб с длиной ребра 1 ед. изм. На ребре отмечена точка - так, что Определи синус угла между прямой и диагональной плоскостью . целое число).

Условие:

Дан куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ с длиной ребра 1 ед. изм. На ребре $A_{1} D_{1}$ отмечена точка $M$ - так, что

A_{1} M: M D_{1}=3: 4 .

Определи синус угла $\phi$ между прямой $A M$ и диагональной плоскостью $\left(B B_{1} D_{1} D\right)$ .

\text { Ответ: } \sin \phi=\frac{3}{\sqrt{116}} \text { (числитель - }

целое число).

Решение:

Координаты вершин куба:
- $A(0, 0, 0)$
- $B(1, 0, 0)$
- $C(1, 1, 0)$
- $D(0, 1, 0)$
- $A_1(0, 0, 1)$
- $B_1(1, 0, 1)$
- $C_1(1, 1, 1)$
- $D_1(0, 1, 1)$
Определение координат точки $M$ : На ребре $A_1 D_1$ точка $M$ делит отрезок в отношении $3:4$ . Длина отрезка $A_1 D_1$ равна 1 (от $z=1$ до $z=0$ ). Таким образом, $M$ находится на расстоянии $\frac{3}{7}$ от $A_1$ и $\frac{4}{7}$ от $D_1$ .

Координаты точки $M$ :
$M\left(0, 1, 1 - \frac{3}{7}\right) = \left(0, 1, \frac{4}{7}\right)$
Вектор $AM$ : Вектор $\overrightarrow{AM}$ можно найти как разность координат:
$\overrightarrow{AM} = M - A = \left(0, 1, \frac{4}{7}\right) - (0, 0, 0) = \left(0, 1, \frac{4}{7}\right)$
...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод наиболее эффективен для определения синуса угла между прямой и плоскостью в трёхмерном пространстве, когда заданы координаты вершин куба и точки?

Использование формулы для угла между прямой и плоскостью через направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости.

Построение проекции прямой на плоскость и вычисление угла между исходной прямой и её проекцией.

Применение теоремы косинусов для треугольника, образованного прямой и двумя точками на плоскости.