Дан параллелепипед . Укажите, какие из следующих трех векторов компланарны: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Добавлена: 29.04.2026
Обновлена: 29.04.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Дан параллелепипед . Укажите, какие из следующих трех векторов компланарны: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Условие:

Дан параллелепипед $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Укажите, какие из следующих трех векторов компланарны:

$\overline{A B}, \overline{B C}, \overline{D D_{1}}$ ;
$\overline{A A_{1}}, \overline{B_{1} B}, \overline{C C_{1}}$ ;
$\overline{A B}, \overline{A_{1} D_{1}}, \overline{C C_{1}}$ ;
$\overline{A B}, \overline{B C}, \overline{A_{1} C_{1}}$ .

Решение:

Рассмотрим параллелепипед A B C D A₁ B₁ C₁ D₁. Для удобства введём координатное оформление: полагаем, что

A = (0, 0, 0),
B = (1, 0, 0),
D = (0, 1, 0),
A₁ = (0, 0, 1).

Тогда остальные точки получаются по правилу: C = A + (B – A) + (D – A) = (1, 1, 0), B₁ = B + (A₁ – A) = (1, 0, 1), D₁ = D + (A₁ – A) = (0, 1, 1), C₁ = C + (A₁ – A) = (1, 1, 1).

Наша цель – определить, для каких наборов трёх векторов они лежат в одной плоскости (то есть компланарны).