Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти: длину ребра A1A2; уравнение прямой A1A2; угол между рёбрами A1A2 и A1A4; уравнение плоскости A1A2A3; угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3; площадь грани A1A2A3; объём пирамиды. А1 (3; 5; 4), А2 (8; 7; 4),

Добавлена: 09.04.2026
Обновлена: 09.04.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Условие:

Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти:
длину ребра A1A2;
уравнение прямой A1A2;
угол между рёбрами A1A2 и A1A4;
уравнение плоскости A1A2A3;
угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3;
площадь грани A1A2A3;
объём пирамиды.
А1 (3; 5; 4), А2 (8; 7; 4), А3 (5; 10; 4), А4(4; 7; 8);

Решение:

Дано:

Координаты вершин пирамиды:

$A_1 = (3; 5; 4)$
$A_2 = (8; 7; 4)$
$A_3 = (5; 10; 4)$
$A_4 = (4; 7; 8)$

Найти:

Длина ребра $A_1A_2$ .
Уравнение прямой $A_1A_2$ .
Угол между рёбрами $A_1A_2$ и $A_1A_4$ .
Уравнение плоскости $A_1A_2A_3$ .
Угол между ребром $A_1A_4$ и гранью $A_1A_2A_3$ .
Площадь грани $A_1A_2A_3$ .
Объём пирамиды $A_1A_2A_3A_4$ .

Решение

0. Подготовительный этап: Нахождение векторов

Для большинства задач нам понадобятся векторы, исходящие из одной вершины, например, $A_1$ .

Вектор $\vec{A_1A_2}$ :

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод используется для нахождения нормального вектора плоскости, заданной тремя точками, не лежащими на одной прямой?

Скалярное произведение векторов, лежащих в плоскости.

Векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости.

Нахождение среднего арифметического координат заданных точек.

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Длина отрезка в трёхмерном пространстве (модуль вектора) между точками $P_1(x_1, y_1, z_1)$ и $P_2(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ .
Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ с направляющим вектором $\vec{v}=(a, b, c)$ , имеет вид $\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$ .
Косинус угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется через их скалярное произведение: $\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$ .
Уравнение плоскости, проходящей через три точки $A_1, A_2, A_3$ , можно найти, используя нормальный вектор $\vec{n}$ , который является векторным произведением двух векторов, лежащих в этой плоскости (например, $\vec{A_1A_2}$ и $\vec{A_1A_3}$ ). Уравнение плоскости имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$ , где $(A, B, C)$ — координаты нормального вектора, а $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты одной из точек плоскости.
Объём пирамиды, построенной на векторах $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ , исходящих из одной вершины, равен одной шестой модуля их смешанного произведения: $V = \frac{1}{6} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$ . Смешанное произведение также равно определителю матрицы, составленной из координат этих векторов.