Даны вершины треугольной пирамиды , . Найти: 1) угол между ребрами и ; 2) площадь грани ; 3) объем пирамиды ; 4) длину высоты, опущенной из вершины на грань ; 5) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .

Добавлена: 11.05.2026
Обновлена: 11.05.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Даны вершины треугольной пирамиды , . Найти: 1) угол между ребрами и ; 2) площадь грани ; 3) объем пирамиды ; 4) длину высоты, опущенной из вершины на грань ; 5) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .

Условие:

Даны вершины треугольной пирамиды $S(2;1;3)$ , $A(3;-1;-2),B(-1;3;-1),C(-1;-2;-3)$ . Найти:

угол между ребрами $\overrightarrow{B S}$ и $\overrightarrow{B C}$ ;
площадь грани $A B C$ ;
объем пирамиды $S A B C$ ;
длину высоты, опущенной из вершины $S$ на грань $A B C$ ;
уравнение высоты, опущенной из вершины $S$ на грань $A B C$ .

Решение:

Угол между ребрами $\overrightarrow{B S}$ и $\overrightarrow{B C}$ .

Сначала найдем векторы: (\overrightarrow{B S} = S - B = (2 - (-1), 1 - 3, 3 - (-1)) = (3, -2, 4)) (\overrightarrow{B C} = C - B = (-1 - (-1), -2 - 3, -3 - (-1)) = (0, -5, -2))

Теперь найдем угол между векторами с помощью скалярного произведения: (\overrightarrow{B S} \cdot \overrightarrow{B C} = 3 \cdot 0 + (-2) \cdot (-5) + 4 \cdot (-2) = 0 + 10 - 8 = 2)

Далее найдем длины векторов: (|\overrightarrow{B S}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}) (|\overrightarrow{B C}| = \sqrt{0^2 + (-5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 25 + 4} = \sqrt{29})...