Для решения задачи начнем с анализа данных и применения геометрических свойств правильной четырехугольной призмы.
Дано...
- Диагональ правильной четырехугольной призмы \(d = 2 \, \text{см}\)
- Угол между диагональю и плоскостью боковой грани \(\alpha = 30^\circ\)
Правильная четырехугольная призма имеет квадратное основание. Обозначим сторону основания квадрата как \(a\).
Диагональ квадрата вычисляется по формуле:
\[
d = a\sqrt{2}
\]
Подставим известное значение диагонали:
\[
2 = a\sqrt{2}
\]
Решим это уравнение для \(a\):
\[
a = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \, \text{см}
\]
Сторона основания призмы \(a = \sqrt{2} \, \text{см}\).
Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы вычисляется по формуле:
\[
S_{\text{бок}} = P \cdot h
\]
где \(P\) — периметр основания, \(h\) — высота призмы.
Периметр квадрата:
\[
P = 4a = 4\sqrt{2} \, \text{см}
\]
Теперь найдем высоту призмы \(h\). Из треугольника, образованного диагональю, высотой и боковой гранью, можем использовать синус угла:
\[
\sin(30^\circ) = \frac{h}{d}
\]
Подставим известные значения:
\[
\frac{1}{2} = \frac{h}{2}
\]
Отсюда:
\[
h = 1 \, \text{см}
\]
Теперь подставим значения в формулу для площади боковой поверхности:
\[
S_{\text{бок}} = 4\sqrt{2} \cdot 1 = 4\sqrt{2} \, \text{см}^2
\]
Площадь боковой поверхности призмы \(S_{\text{бок}} = 4\sqrt{2} \, \text{см}^2\).
Для нахождения угла между диагональю призмы и плоскостью основания, используем косинус угла:
\[
\cos(\beta) = \frac{h}{d}
\]
Подставим известные значения:
\[
\cos(\beta) = \frac{1}{2}
\]
Отсюда:
\[
\beta = 60^\circ
\]
Угол между диагональю призмы и плоскостью основания \(\beta = 60^\circ\).
Сечение, проходящее через одну сторону верхнего основания и противоположную сторону нижнего основания, представляет собой прямоугольник.
Ширина сечения равна стороне основания \(a\), а высота равна высоте призмы \(h\):
\[
S_{\text{сеч}} = a \cdot h = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2} \, \text{см}^2
\]
Площадь сечения призмы \(S_{\text{сеч}} = \sqrt{2} \, \text{см}^2\).
а) Сторона основания призмы \(a = \sqrt{2} \, \text{см}\)
б) Площадь боковой поверхности призмы \(S_{\text{бок}} = 4\sqrt{2} \, \text{см}^2\)
в) Угол между диагональю призмы и плоскостью основания \(\beta = 60^\circ\)
г) Площадь сечения призмы \(S_{\text{сеч}} = \sqrt{2} \, \text{см}^2\)
