Условие:
Доказать содержательную непротиворечивость аксиоматики коммутативного кольца с единицей. Является ли она категоричной?
Решение:
Аксиоматическая теория называется категоричной, если любые две ее модели изоморфны.
Множество 𝔽 с двумя операциями 𝔽 𝔽 𝔽: сложением (𝑎, 𝑏) ↦ 𝑎 + 𝑏 и умножением (𝑎, 𝑏) ↦ 𝑎𝑏 называется коммутативным кольцом с единицей, если выполняются следующие три набора аксиом:
Свойства сложения:
- коммутативность: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 𝑎, 𝑏𝔽
- ассоциативность: 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + ...