Условие:
Классифицируйте полученное семейство поверхностей в зависимости от
значений параметров а,b в уравнении (аx2+2bx)+(2y2+2y)+(4z2+2z)=-1
Решение:
Для классификации семейства поверхностей, заданного уравнением \[ (ax^2 + 2bx) + (2y^2 + 2y) + ...
Сначала упростим каждую часть уравнения. Мы можем выделить полный квадрат для переменных \(y\) и \(z\). 1. Для \(y\): \[ 2y^2 + 2y = 2(y^2 + y) = 2\left(y^2 + y + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) = 2\left((y + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}\right) = 2(y + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2}. \] 2. Для \(z\): \[ 4z^2 + 2z = 4(z^2 + \frac{1}{2}z) = 4\left(z^2 + \frac{1}{2}z + \frac{1}{16} - \frac{1}{16}\right) = 4\left((z + \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16}\right) = 4(z + \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{4}. \] Теперь подставим эти преобразования в уравнение: \[ (ax^2 + 2bx) + \left(2(y + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2}\right) + \left(4(z + \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{4}\right) = -1. \] Теперь упростим уравнение: \[ ax^2 + 2bx + 2(y + \frac{1}{2})^2 + 4(z + \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = -1. \] Соберем все константы: \[ ax^2 + 2bx + 2(y + \frac{1}{2})^2 + 4(z + \frac{1}{4})^2 = -1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}. \] Таким образом, у нас получается: \[ ax^2 + 2bx + 2(y + \frac{1}{2})^2 + 4(z + \frac{1}{4})^2 = -\frac{1}{4}. \] Теперь мы можем классифицировать поверхность в зависимости от значений параметров \(a\) и \(b\). 1. : - Уравнение будет представлять собой эллипсоид, если \( -\frac{1}{4} \) будет положительным, что невозможно. Следовательно, при \(a 0\) не будет реальных решений. 2. : - Уравнение будет линейным по \(x\) и будет представлять собой параболу в плоскости \(y\) и \(z\). 3. : - Уравнение будет представлять гиперболу, так как \(ax^2\) будет отрицательным, что приведет к возможным решениям. Параметр \(b\) влияет на сдвиг и ориентацию поверхности в пространстве, но не меняет ее основную классификацию. Таким образом, классификация семейства поверхностей в зависимости от значений параметров \(a\) и \(b\) будет следующей: - \(a 0\): нет реальных решений (неопределенная поверхность). - \(a = 0\): парабола. - \(a 0\): гипербола. Это решение позволяет понять, как параметры влияют на форму и тип поверхности, заданной уравнением.