Найдите поверхность и объем шара описанного около правильной четырехугольной усечённой пирамиды, у которой стороны оснований 14 дм и 2 дм, а боковое ребро наклонено к основанию под углом 45°

Для нахождения поверхности и объема шара, описанного около правильной четырехугольной усеченной пирамиды, нам нужно сначала определить радиус этого ша...

У нас есть усеченная пирамида с большими и малыми основаниями, где стороны оснований равны 14 дм и 2 дм соответственно. Боковое ребро наклонено к основанию под углом 45°.

1. • Обозначим высоту усеченной пирамиды как $h$.
   • Поскольку боковое ребро наклонено под углом 45°, то высота $h$ будет равна длине бокового ребра, если мы проведем перпендикуляр из вершины пирамиды к основанию.
2. • Радиус $R$ шара, описанного около усеченной пирамиды, можно найти по формуле:
     $$R = \frac{h}{\cos(\alpha)}$$
     где $\alpha$ — угол наклона бокового ребра к основанию. В нашем случае $\alpha = 45^\circ$, следовательно, $\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
   • Таким образом, радиус будет равен:
     $$R = h \cdot \sqrt{2}$$
3. • Для нахождения высоты $h$ нам нужно знать, как соотносятся размеры оснований и высота.
   • Поскольку основание является квадратом, его диагональ можно найти по формуле:
     $$d = a \sqrt{2}$$
     где $a$ — сторона квадрата. Для большего основания:
     $$d_1 = 14 \sqrt{2}$$
     Для меньшего основания:
     $$d_2 = 2 \sqrt{2}$$
   • Высота усеченной пирамиды можно найти, используя теорему Пифагора, учитывая, что расстояние между центрами оснований будет равно разности половин диагоналей:
     $$\text{Расстояние} = \frac{d2}{2} = \frac{14\sqrt{2}}{2} - \frac{2\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$$
   • Теперь, используя теорему Пифагора:
     $$h^2 + (6\sqrt{2})^2 = (h/\cos(45^\circ))^2$$
     $$h^2 + 72 = 2h^2$$
     $$h^2 = 72 \implies h = 6\sqrt{2}$$
4. $$R = 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 12$$
5. $$V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (12)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 1728 = 2304 \pi \, \text{дм}^3$$
6. $$S = 4 \pi R^2 = 4 \pi (12)^2 = 4 \pi \cdot 144 = 576 \pi \, \text{дм}^2$$

• Объем шара: $2304 \pi \, \text{дм}^3$
• Площадь поверхности шара: $576 \pi \, \text{дм}^2$