Разбор задачи

Натуральные числа таковы, что число - тоже натуральное. Чему может быть равно отношение ?

Условие:

Натуральные числа $a, b$ таковы, что число $\frac{7 a+15 b}{a+5 b}$ - тоже натуральное. Чему может быть равно отношение $\frac{a}{b}$ ?

1. Обозначим условие

Дано: $a, b \in \mathbb{N}$ , и число

k = \frac{7a + 15b}{a + 5b}

— натуральное ( $k \in \mathbb{N}$ ).

Найти все возможные значения отношения $\frac{a}{b}$ .

2. Преобразуем выражение

k = \frac{7a + 15b}{a + 5b}

Выделим целую часть:

7a + 15b = 7(a + 5b) + (15b - 35b) \quad \text{?}

Проверим: $7(a+5b) = 7a + 35b$ , тогда
$7a + 15b - [7a + 35b] = -20b$ .

Значит:

7a + 15b = 7(a+5b) - 20b

Тогда:

k = \frac{7(a+5b) - 20b}{a+5b} = 7 - \frac{20b}{a+5b}.

3. Условие натуральности $k$

$k \in \mathbb{N}$ ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое ключевое преобразование используется для упрощения выражения $\frac{7a + 15b}{a + 5b}$ и выделения его целой части?

Умножение числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Выделение в числителе выражения, кратного знаменателю, с последующим вычитанием остатка.

Деление числителя на знаменатель столбиком.