Условие:
119. Основание пирамиды — треугольник со сторонами, равными 6, 10 и 14 см. Плоскости боковых граней наклонены к основанию под углом 60°. Вычислите полную поверхность пирамиды
Решение:
Для решения задачи о вычислении полной поверхности пирамиды, основание которой является треугольником со сторонами 6, 10 ...
Сначала найдем площадь треугольника с заданными сторонами. Для этого используем формулу Герона. 1. Вычислим полупериметр \( p \): \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6 + 10 + 14}{2} = 15 \text{ см} \] 2. Теперь найдем площадь \( S \) по формуле Герона: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] Подставим значения: \[ S = \sqrt{15(15-6)(15-10)(15-14)} = \sqrt{15 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{15 \cdot 45} = \sqrt{675} = 15\sqrt{3} \text{ см}^2 \] Теперь найдем высоту боковых граней. Поскольку боковые грани наклонены под углом 60° к основанию, можем использовать тригонометрию. 1. Высота боковой грани \( h \) связана с наклоном: \[ h = l \cdot \sin(60°) \] где \( l \) — это длина боковой грани. Для нахождения \( l \) воспользуемся формулой для высоты треугольника, проведенной из вершины к основанию. 2. Для треугольника с основанием 14 см и высотой, проведенной из вершины, используем формулу: \[ h_{основания} = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 15\sqrt{3}}{14} = \frac{30\sqrt{3}}{14} = \frac{15\sqrt{3}}{7} \text{ см} \] 3. Теперь найдем длину боковой грани. Для этого используем теорему Пифагора. Высота \( h \) будет равна: \[ h = \frac{15\sqrt{3}}{7} \cdot \frac{1}{\sin(60°)} = \frac{15\sqrt{3}}{7} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{30}{7} \text{ см} \] Теперь найдем площадь боковых граней. Поскольку у нас три боковые грани, каждая из которых является трапецией, мы можем использовать формулу для площади треугольника. 1. Площадь одной боковой грани: \[ S_{боковой} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot \frac{30}{7} = 30 \text{ см}^2 \] 2. Площадь всех боковых граней: \[ S{боковой} = 3 \cdot 30 = 90 \text{ см}^2 \] Теперь можем найти полную поверхность пирамиды: \[ S{основания} + S_{боковые} = 15\sqrt{3} + 90 \] Полная поверхность пирамиды равна \( 15\sqrt{3} + 90 \) см².