Условие:
Площадь основания конуса равна 50 пи сантиметров квадратных. Плоскость параллельная его основанию делит высоту конуса в соотношении 2:3, считая от вершины. Найдите площадь сечения
Решение:
Для решения задачи начнем с анализа данных, которые нам даны: 1. Площадь основания конуса \( S_0 = 50\pi \) см². 2. П...
Площадь круга (основания конуса) рассчитывается по формуле: \[ S = \pi r^2 \] где \( r \) — радиус основания. Подставим известную площадь: \[ 50\pi = \pi r^2 \] Сократим \( \pi \) с обеих сторон: \[ 50 = r^2 \] Теперь найдем радиус: \[ r = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \text{ см} \] Обозначим высоту конуса как \( h \). Поскольку высота не дана, мы оставим её как переменную для дальнейших расчетов. Плоскость делит высоту конуса в соотношении 2:3. Это означает, что от вершины до сечения высота составляет: \[ h_1 = \frac{2}{2+3}h = \frac{2}{5}h \] А от сечения до основания: \[ h_2 = \frac{3}{5}h \] Поскольку сечение параллельно основанию, радиус сечения \( r_1 \) будет пропорционален высоте: \[ \frac{r1}{h} \] Подставим известные значения: \[ \frac{r_1}{5\sqrt{2}} = \frac{2/5 h}{h} \] Сократим \( h \): \[ \frac{r_1}{5\sqrt{2}} = \frac{2}{5} \] Теперь выразим \( r_1 \): \[ r_1 = 5\sqrt{2} \cdot \frac{2}{5} = 2\sqrt{2} \text{ см} \] Площадь сечения \( S_1 \) также будет вычисляться по формуле площади круга: \[ S1^2 \] Подставим значение радиуса: \[ S_1 = \pi (2\sqrt{2})^2 = \pi \cdot 4 \cdot 2 = 8\pi \text{ см}^2 \] Таким образом, площадь сечения конуса равна: \[ \boxed{8\pi} \text{ см}^2 \]