Пусть и - действительные корни квадратного уравнения (относительно переменной ): Найдите все действительные значения параметра b, при каждом из которых для любого действительного значения параметра а функция: является периодической.

Добавлена: 03.05.2026
Обновлена: 03.05.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Пусть и - действительные корни квадратного уравнения (относительно переменной ): Найдите все действительные значения параметра b, при каждом из которых для любого действительного значения параметра а функция: является периодической.

Условие:

Пусть $\mathrm{t}_{1}$ и $\mathrm{t}_{2}$ - действительные корни квадратного уравнения (относительно переменной $t$ ):

\mathrm{t}^{2}-(5 \mathrm{~b}-2)^{2} \mathrm{t}-3 \mathrm{~b}^{2}-7 \mathrm{~b}+1=0

Найдите все действительные значения параметра b, при каждом из которых для любого действительного значения параметра а функция:

f(x)=\cos (a \pi x) \cdot \cos \left(\left(t_{1}^{3}+t_{2}^{3}\right) \cdot \pi x\right)

является периодической.

Решение:

Рассмотрим данное квадратное уравнение относительно переменной t:

t² – (5b – 2)² · t – 3b² – 7b + 1 = 0

Обозначим корни через t₁ и t₂. По формулам Виета имеем:

t₁ + t₂ = (5b – 2)²
t₁ · t₂ = –3b² – 7b + 1

Нам нужно найти такие b, при которых функция

f(x) = cos(aπx) · cos((t₁³ + t₂³)πx)

является периодической для любого действительного параметра a.

Заметим, что для любого фиксированного a функция cos(aπx) периодична (период равен 2/|a|, а при a = 0 функция постоянна). Однако произведение...