Сколько существует прямоугольных треугольников ABC, что в них высота CD, проведенная из вершины прямого угла, связана с гипотенузой AB соотношением 2CD+2=AB, отрезки CD, AD, BD имеют целочисленные длины, длина гипотенузы лежит в промежутке [150,1400]?

Добавлена: 28.04.2026
Обновлена: 28.04.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Теория чисел
#Элементы теории рисков

Условие:

Сколько существует прямоугольных треугольников ABC, что в них высота CD, проведенная из вершины прямого угла, связана с гипотенузой AB соотношением 2CD+2=AB, отрезки CD, AD, BD имеют целочисленные длины, длина гипотенузы лежит в промежутке [150,1400]?

Решение:

1. Переформулировка условия

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ .
$CD$ — высота к гипотенузе $AB$ .
Точка $D$ лежит на $AB$ .

Дано:

2 \cdot DC + 2 = AB

Обозначим

CD = h_c

AB = c

. Тогда:

h_c = \frac{c - 2}{2}.

Также $AD$ и $BD$ — целочисленные длины проекций катетов на гипотенузу.
$h_c$ тоже целое число (поскольку $CD$ — целое, и $AD, BD$ целые, то $h_c$ тоже целое, так как $h_c^2 = AD \cdot BD$ — целое, но здесь сказано: "отрезки $CD, AD, BD$ имеют целочисленные длины" — значит $h_c$ ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое ключевое соотношение между параметрами $m, n, t$ (где $AD = m^2t$, $BD = n^2t$, $h_c = mnt$) позволяет связать высоту $h_c$ и гипотенузу $c$ в прямоугольном треугольнике, если $2h_c + 2 = c$?

$t(m+n)^2 = 2$