Сторона основания правильной треугольной призмы равна 4 см, а диагональ боковой грани 5 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Чтобы найти площадь боковой и полной поверхности правильной треугольной призмы,...

Правильная треугольная призма имеет основание в виде равностороннего треугольника. Сторона основания равна 4 см. Для нахождения высоты боковой грани призмы, воспользуемся диагональю боковой грани, которая равна 5 см. Боковая грань призмы представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте призмы (h), а другая сторона равна стороне основания (4 см). Диагональ этого прямоугольника (d) можно найти по теореме Пифагора: \[ d = \sqrt{h^2 + 4^2} \] Подставим известные значения: \[ 5 = \sqrt{h^2 + 4^2} \] Возведем обе стороны в квадрат: \[ 25 = h^2 + 16 \] Теперь решим уравнение для h: \[ h^2 = 25 - 16 \] \[ h^2 = 9 \] \[ h = 3 \text{ см} \] Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна периметру основания, умноженному на высоту призмы: 1. Найдем периметр основания (равностороннего треугольника): \[ P = 3 \times 4 = 12 \text{ см} \] 2. Теперь найдем площадь боковой поверхности: \[ S_{бок} = P \times h = 12 \times 3 = 36 \text{ см}^2 \] Площадь основания (равностороннего треугольника) можно найти по формуле: \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] где \( a = 4 \text{ см} \): \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 = 4\sqrt{3} \text{ см}^2 \] Полная поверхность призмы равна сумме площадей боковой поверхности и двух оснований: \[ S{бок} + 2 \times S_{осн} \] Подставим найденные значения: \[ S_{пол} = 36 + 2 \times 4\sqrt{3} = 36 + 8\sqrt{3} \text{ см}^2 \] Площадь боковой поверхности призмы составляет \( 36 \text{ см}^2 \), а полная поверхность призмы составляет \( 36 + 8\sqrt{3} \text{ см}^2 \).