Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 1 см, а стороны - 2 см. Найдите объем этой пирамиды

Чтобы найти объем правильной шестиугольной пирамиды, нам нужно использовать формулу для объема п...

Основание нашей пирамиды — правильный шестиугольник со стороной $a = 1$ см. Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле:

$$S_b = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$$

Подставим значение стороны:

$$S_b = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (1)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$$

Для нахождения высоты $h$ пирамиды, мы можем использовать теорему Пифагора. Высота пирамиды, основание и боковая сторона образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• одна сторона — это высота $h$,
• другая сторона — это расстояние от центра основания до середины одной из сторон основания (обозначим его как $r$),
• гипотенуза — это боковая сторона пирамиды $l = 2$ см.

Сначала найдем $r$. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности (расстояние от центра до вершины) равен:

$$R = a$$

а радиус вписанной окружности (расстояние от центра до середины стороны) равен:

$$r = \frac{\sqrt{3}}{2} a$$

Подставим значение стороны:

$$r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$$

Теперь применим теорему Пифагора:

$$l^2 = h^2 + r^2$$

Подставим известные значения:

$$2^2 = h^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$$

Это дает:

$$4 = h^2 + \frac{3}{4}$$

Теперь выразим $h^2$:

$$h^2 = 4 - \frac{3}{4} = \frac{16}{4} - \frac{3}{4} = \frac{13}{4}$$

Теперь найдем $h$:

$$h = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2} \text{ см}$$

Теперь подставим найденные значения $S_b$ и $h$ в формулу для объема:

$$V = \frac{1}{3} \cdot S_b \cdot h$$

Подставим:

$$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{13}}{2}$$

Упростим:

$$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{39}}{4} = \frac{\sqrt{39}}{4} \text{ см}^3$$

Объем правильной шестиугольной пирамиды равен $\frac{\sqrt{39}}{4}$ см³.