Точка - центр тяжести грани тетраэдра , противолежащей вершине . Доказать, что отрезки ) проходят через одну точку , такую, что .

Добавлена: 02.05.2026
Обновлена: 02.05.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Геометрические преобразования

Точка - центр тяжести грани тетраэдра , противолежащей вершине . Доказать, что отрезки ) проходят через одну точку , такую, что .

Условие:

Точка $M_{1}$ - центр тяжести грани тетраэдра $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ , противолежащей вершине $A_1$ . Доказать, что отрезки $\left[A_{l},M_{l}\right]\left(i=1,2,3,4\right)$ ) проходят через одну точку $M$ , такую, что $3\overrightarrow{MA}_1+\overrightarrow{MA}_2+\overrightarrow{MA}_3+\overrightarrow{MA}_4=\overrightarrow{0}$ .

Решение:

Пусть дан тетраэдр с вершинами A1, A2, A3, A4. Для каждой вершины Aᵢ обозначим через Mᵢ центр тяжести (то есть центр масс) грани, противолежащей этой вершине. Например, M₁ – центр тяжести грани A2A3A4, то есть
M₁ = (A2 + A3 + A4)/3.
Докажем сначала, что отрезки (медианы) [A₁M₁] и [A₂M₂] пересекаются. Для этого выразим точки на этих отрезках в векторной форме. Возьмём произвольное начало координат и обозначим через A₁, A₂, A₃, A₄ соответствующие векторные положения вершин.

На отрезке A₁M₁ любые точка имеет вид
X = A₁ + t (M₁ – A₁) = A₁ + t[(A2 + A3 + A4)/3 – A₁]...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство точки M, являющейся центром тяжести тетраэдра, выражает векторное равенство $3\overrightarrow{MA}_1+\overrightarrow{MA}_2+\overrightarrow{MA}_3+\overrightarrow{MA}_4=\overrightarrow{0}$?

Точка M делит медиану, проведённую из вершины $A_1$ , в отношении 1:3, считая от вершины $A_1$ .