Треугольник АВС задан координатами своих вершин. Построить его в прямоугольной декартовой системе координат. Построить векторы АВ+СВ и АС - ВС . Вычислить длины сторон и углы треугольника. Найти координаты вектора АО, где О - точка пересечения медиан

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Построение треугольника ABC

Координаты вершин треугольника:
- A(1, 2)
- B(-1, 3)
- C(0, -4)

Для построения треугольника в прямоугольной декартовой системе координат, мы можем просто отметить точки A, B и C на плоскости и соединить их отрезками.

Шаг 2: Построение векторов AВ + CВ и AС - BС

1. Векто...: \[ \vec{AB} = B - A = (-1 - 1, 3 - 2) = (-2, 1) \] 2. : \[ \vec{CB} = B - C = (-1 - 0, 3 - (-4)) = (-1, 7) \] 3. : \[ \vec{AC} = C - A = (0 - 1, -4 - 2) = (-1, -6) \] 4. : \[ \vec{BC} = C - B = (0 - (-1), -4 - 3) = (1, -7) \] Теперь вычислим векторы: - : \[ \vec{AB} + \vec{CB} = (-2, 1) + (-1, 7) = (-3, 8) \] - : \[ \vec{AC} - \vec{BC} = (-1, -6) - (1, -7) = (-1 - 1, -6 - (-7)) = (-2, 1) \] Длину стороны можно вычислить по формуле: \[ d = \sqrt{(x1)^2 + (y1)^2} \] 1. : \[ AB = \sqrt{((-1) - 1)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] 2. : \[ BC = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (-4 - 3)^2} = \sqrt{(1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] 3. : \[ AC = \sqrt{(0 - 1)^2 + (-4 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37} \] Для вычисления углов используем теорему косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \] 1. : \[ \cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] где \( a = BC, b = AC, c = AB \). Подставим значения: \[ \cos(A) = \frac{(5\sqrt{2})^2 + (\sqrt{37})^2 - (\sqrt{5})^2}{2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{37}} = \frac{50 + 37 - 5}{2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{37}} = \frac{82}{10\sqrt{74}} = \frac{41}{5\sqrt{74}} \] 2. и вычисляются аналогично. Координаты точки O (центра масс) треугольника вычисляются по формуле: \[ OA + xC}{3}, \quad OA + yC}{3} \] Подставим координаты: \[ O_x = \frac{1 + (-1) + 0}{3} = \frac{0}{3} = 0 \] \[ O_y = \frac{2 + 3 + (-4)}{3} = \frac{1}{3} \] Таким образом, координаты точки O: \[ O(0, \frac{1}{3}) \] - Векторы: \( \vec{AB} + \vec{CB} = (-3, 8) \) и \( \vec{AC} - \vec{BC} = (-2, 1) \) - Длины сторон: \( AB = \sqrt{5}, BC = 5\sqrt{2}, AC = \sqrt{37} \) - Координаты точки O: \( O(0, \frac{1}{3}) \)