Треугольник задан вершинами A(4;5) , B(2;1), C(3,5) Найти : длину BC , cos A , координаты точек делящих сторону AC на три равные части

Для решения задачи, давайте последовательно найдем все необходимые элементы.

Шаг 1: Найдем длину...

Длина отрезка между двумя точками $B(x1)$ и $C(x2)$ вычисляется по формуле:

$$d = \sqrt{(x1)^2 + (y1)^2}$$

Подставим координаты точек B(2, 1) и C(3, 5):

$$d_{BC} = \sqrt{(3 - 2)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(1)^2 + (4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$$

Для нахождения косинуса угла A, воспользуемся формулой:

$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

где:

• $a$ — длина стороны BC,
• $b$ — длина стороны AC,
• $c$ — длина стороны AB.

Сначала найдем длины сторон:

1. :

   $$d_{AC} = \sqrt{(3 - 4)^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$$

2. :

   $$d_{AB} = \sqrt{(2 - 4)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

Теперь подставим значения в формулу для косинуса:

• $a = \sqrt{17}$
• $b = 1$
• $c = 2\sqrt{5}$

$$\cos A = \frac{1^2 + (2\sqrt{5})^2 - (\sqrt{17})^2}{2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{1 + 20 - 17}{4\sqrt{5}} = \frac{4}{4\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

Координаты точек, делящих отрезок на равные части, можно найти по формуле:

PA + k \cdot \frac{xA}{n}, yC - y_A}{n} \right)

где $k$ — номер деления (0, 1, 2), $n$ — количество частей (в нашем случае 3).

Координаты A(4, 5) и C(3, 5).

1. :

   $$P_1 = \left( 4 + 1 \cdot \frac{3 - 4}{3}, 5 + 1 \cdot \frac{5 - 5}{3} \right) = \left( 4 - \frac{1}{3}, 5 \right) = \left( \frac{11}{3}, 5 \right)$$

2. :

   $$P_2 = \left( 4 + 2 \cdot \frac{3 - 4}{3}, 5 + 2 \cdot \frac{5 - 5}{3} \right) = \left( 4 - \frac{2}{3}, 5 \right) = \left( \frac{10}{3}, 5 \right)$$

3. Длина отрезка BC: $\sqrt{17}$

4. Косинус угла A: $\frac{\sqrt{5}}{5}$

5. Координаты точек, делящих сторону AC на три равные части: $\left( \frac{11}{3}, 5 \right)$ и $\left( \frac{10}{3}, 5 \right)$