В кубе 𝑆𝑇𝑀𝑃𝑆1𝑇1𝑀1𝑃1 с ребром 2√3 проведены через вершины 𝑇, 𝑃 и 𝑀1 секущая плоскость 𝛼 и диагональ 𝑆1𝑀, пересекающая плоскость 𝛼 в точке 𝐾.

Для решения задачи, давайте сначала проанализируем, что нам дано. 1. Куб: У нас есть куб \( STMP S1 T1 M1 P1 \) с длиной ребра \( 2\sqrt{3} \). 2. Вершины: Вершины куба можно обозначить следующим образом: - \( S(0, 0, 0) \) - \( T(2\sqrt{3}, 0, 0) \) - \( M(2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 0) \) - \( P(0, 2\s...

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через три точки \( T(2\sqrt{3}, 0, 0) \), \( P(0, 2\sqrt{3}, 0) \) и \( M_1(2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}) \), мы можем использовать векторное произведение. 1. : - \( \vec{TP} = P - T = (0 - 2\sqrt{3}, 2\sqrt{3} - 0, 0 - 0) = (-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 0) \) - \( \vec{TM1 - T = (2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}, 2\sqrt{3} - 0, 2\sqrt{3} - 0) = (0, 2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}) \) 2. : \[ \vec{n} = \vec{TP} \times \vec{TM_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} \hat{j} \hat{k} \\ -2\sqrt{3} 2\sqrt{3} 0 \\ 0 2\sqrt{3} 2\sqrt{3} \end{vmatrix} \] Вычисляем определитель: \[ \vec{n} = \hat{i} (2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} - 0) - \hat{j} (-2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} - 0) + \hat{k} (0 - 0) \] \[ = \hat{i} (12) + \hat{j} (12) + \hat{k} (0) = (12, 12, 0) \] 3. : Уравнение плоскости можно записать в виде: \[ 12(x - 2\sqrt{3}) + 12(y - 0) + 0(z - 0) = 0 \] Упрощаем: \[ x + y = 2\sqrt{3} \] Теперь найдем уравнение диагонали \( S_1M \). 1. : - \( S_1(0, 0, 2\sqrt{3}) \) - \( M(2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 0) \) 2. : Пусть \( t \) — параметр, тогда: \[ x = 0 + t(2\sqrt{3} - 0) = 2\sqrt{3}t \] \[ y = 0 + t(2\sqrt{3} - 0) = 2\sqrt{3}t \] \[ z = 2\sqrt{3} + t(0 - 2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}(1 - t) \] Подставим параметры \( x \) и \( y \) в уравнение плоскости \( x + y = 2\sqrt{3} \): \[ 2\sqrt{3}t + 2\sqrt{3}t = 2\sqrt{3} \] \[ 4\sqrt{3}t = 2\sqrt{3} \implies t = \frac{1}{2} \] Теперь подставим \( t \) в уравнения для \( x \), \( y \) и \( z \): \[ x = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} \] \[ y = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} \] \[ z = 2\sqrt{3}(1 - \frac{1}{2}) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} \] Таким образом, точка пересечения \( K \) имеет координаты: \[ K(\sqrt{3}, \sqrt{3}, \sqrt{3}) \]