В параллелограмме abcd биссекриса угла bac перпендикулярна диагонали bd параллелограмма и пересекает его сторону bc в точке l. а) докажите, что bl:lc=1:2 б)найдите площадь четырехугольника dclo, где o точка пересечения диагоналей параллелограмма, и bd=10,

Для решения задачи начнем с анализа условий и свойств параллелограмма.

Часть а) Доказательство, что \( bl:lc = 1:2 \)

1. Обозначим точк...: Пусть \( A \) — это точка \( A \), \( B \) — точка \( B \), \( C \) — точка \( C \), \( D \) — точка \( D \), \( L \) — точка пересечения биссектрисы с \( BC \). 2. : Биссектрисы углов в треугольниках делят противоположные стороны в отношении, равной отношению прилежащих сторон. В нашем случае, поскольку \( AB \parallel CD \) и \( AD \parallel BC \), мы можем использовать свойства параллелограмма. 3. : В параллелограмме \( AB = CD \) и \( AD = BC \). Обозначим длину \( AB = a \) и \( AD = b \). 4. : Известно, что если биссектрисы угла \( BAC \) пересекают сторону \( BC \) в точке \( L \), то: \[ \frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC} \] В параллелограмме \( AC = BD \), и так как \( BD \) перпендикулярна биссектрисе, то \( AB = AC \). 5. : Таким образом, получаем: \[ \frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC} = \frac{a}{a} = 1 \] Но так как \( BL + LC = BC \) и \( BC = 2 \cdot BL \), то: \[ BL = x, \quad LC = 2x \] Таким образом, \( BL:LC = 1:2 \). 1. : Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей \( AC \) и \( BD \). Известно, что в параллелограмме диагонали делят друг друга пополам, следовательно, \( AO = OC \) и \( BO = OD \). 2. : Площадь параллелограмма можно найти по формуле: \[ S = AB \cdot h \] где \( h \) — высота, проведенная из одной стороны на противоположную. 3. : Площадь четырехугольника \( DCLo \) равна половине площади параллелограмма, так как диагонали делят его на два равных треугольника: \[ S{ABCD} \] 4. : Из условия \( BD = 10 \) и \( AL = 8 \). Поскольку \( L \) делит \( BC \) в отношении \( 1:2 \), то \( BL = \frac{1}{3} BC \) и \( LC = \frac{2}{3} BC \). 5. : Площадь параллелограмма можно выразить через \( BD \) и высоту \( h \): \[ S_{ABCD} = BD \cdot h = 10 \cdot h \] 6. : Поскольку \( AL = 8 \), то высота \( h \) равна \( AL \) (высота из \( A \) на \( BC \)): \[ h = 8 \] 7. : \[ S_{ABCD} = 10 \cdot 8 = 80 \] \[ S_{DCLo} = \frac{1}{2} \cdot 80 = 40 \] Таким образом, площадь четырехугольника \( DCLo \) равна \( 40 \). а) \( bl:lc = 1:2 \) б) Площадь четырехугольника \( DCLo = 40 \).