В правильной четырёхугольной пирамиде боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если её высота равна 12.

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с основанием – квадратом, центр которого O, а Apex S расположен строго над O на высоте h = 12. Обозначим сторону квадрата через a.

1. Выберем одну из боковых граней. Пусть она имеет основание — сторону квадрата, например, от точки B = (a/2, a/2, 0) до точки C = (–a/2, a/2, 0). Тогда вершина S имеет координаты (0, 0, 12). В силу правильности пирамиды все боковые грани равны.

2. Диагональ пирамиды проходит через S и центр основания. Для боковой грани удобно найти высоту треугольника, проведённую из S на сторону BC. Заметим, что основание стороны л...