В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) АВ = 25, АС = 14. а) Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины С. б) Найдите радиус вписанной окружности треугольника АВС. в) Найдите радиус описанной окружности треугольника АВС. г) В треугольник

Для решения задачи будем использовать свойства равнобедренного треугольника и некоторые ...

1. Обозначим высоту, проведённую из вершины C, как h. Она делит основание AB на две равные части, так как треугольник равнобедренный. Обозначим точку пересечения высоты и основания AB как D. Тогда AD = DB = AB/2 = 25/2 = 12.5. 2. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике ACD: \[ AC^2 = AD^2 + h^2 \] Подставим известные значения: \[ 14^2 = 12.5^2 + h^2 \] \[ 196 = 156.25 + h^2 \] \[ h^2 = 196 - 156.25 = 39.75 \] \[ h = \sqrt{39.75} \approx 6.31 \] Таким образом, высота h ≈ 6.31. 1. Для нахождения радиуса вписанной окружности (r) используем формулу: \[ r = \frac{S}{p} \] где S - площадь треугольника, p - полупериметр. 2. Сначала найдем полупериметр: \[ p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{25 + 14 + 25}{2} = 32 \] 3. Площадь S треугольника можно найти через высоту: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 6.31 \approx 78.875 \] 4. Теперь подставим значения в формулу для радиуса: \[ r = \frac{78.875}{32} \approx 2.46 \] Таким образом, радиус вписанной окружности r ≈ 2.46. 1. Радиус описанной окружности (R) можно найти по формуле: \[ R = \frac{abc}{4S} \] где a, b, c - стороны треугольника, S - площадь. 2. Подставим известные значения: - a = 25 (AB) - b = 25 (BC) - c = 14 (AC) - S ≈ 78.875 3. Подставим в формулу: \[ R = \frac{25 \cdot 25 \cdot 14}{4 \cdot 78.875} = \frac{8750}{315.5} \approx 27.7 \] Таким образом, радиус описанной окружности R ≈ 27.7. 1. Обозначим длину KL как x. По условию KL = 2LM, следовательно, LM = x/2. 2. Площадь треугольника ABC также можно выразить через основание KL и высоту h: \[ S = \frac{1}{2} \cdot KL \cdot h = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h \] 3. Площадь S также равна: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 6.31 \approx 78.875 \] 4. Теперь приравняем площади: \[ \frac{1}{2} \cdot x \cdot h = 78.875 \] Подставим h ≈ 6.31: \[ \frac{1}{2} \cdot x \cdot 6.31 = 78.875 \] \[ x \cdot 6.31 = 157.75 \] \[ x = \frac{157.75}{6.31} \approx 24.98 \] Таким образом, длина KL ≈ 25. а) Высота h ≈ 6.31. б) Радиус вписанной окружности r ≈ 2.46. в) Радиус описанной окружности R ≈ 27.7. г) Длина KL ≈ 25.