в равнобедренном треугольнике АВС основание АС равно 6, <B = 120° °. Перпендикулярно плоскости треугольника провели прямую МВ. Найдите угол между прямой МС и плоскостью АВС, если МС = 4. При выполнении задания необходимо сделать рисунок. реши как 10

Для решения задачи начнем с построения рисунка и анализа треугольник...

1. Нарисуем равнобедренный треугольник \( ABC \), где \( AB = AC \) и \( AC = 6 \). 2. Угол \( \angle B = 120^\circ \). 3. Обозначим точку \( M \) на прямой, перпендикулярной плоскости треугольника \( ABC \), так что \( MB = 4 \). Для удобства работы с координатами, зададим координаты точек: - Пусть \( A(0, 0, 0) \) — вершина треугольника. - Пусть \( C(6, 0, 0) \) — основание. - Чтобы найти координаты точки \( B \), используем угол \( \angle B = 120^\circ \). Сначала найдем координаты точки \( B \): - Поскольку треугольник равнобедренный, высота из точки \( B \) делит основание \( AC \) пополам. Обозначим точку \( D \) — середину отрезка \( AC \). Тогда \( D(3, 0, 0) \). - Высота \( h \) из точки \( B \) будет равна \( h = BD \). Угол \( \angle ABD = 60^\circ \) (половина угла \( B \)). - Используя тригонометрию, получаем: \[ h = AD \cdot \tan(60^\circ) = 3 \cdot \sqrt{3} \approx 5.196. \] - Таким образом, координаты точки \( B \) будут \( B(3, 5.196, 0) \). Поскольку прямая \( MB \) перпендикулярна плоскости \( ABC \), координаты точки \( M \) будут: - \( M(3, 5.196, 4) \) (так как \( MB = 4 \)). 1. Вектор \( \overrightarrow{MC} \): \[ \overrightarrow{MC} = C - M = (6 - 3, 0 - 5.196, 0 - 4) = (3, -5.196, -4). \] 2. Вектор нормали к плоскости \( ABC \): - Плоскость \( ABC \) задана векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AB} = (3, 5.196, 0), \quad \overrightarrow{AC} = (6, 0, 0). \] - Находим векторное произведение: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} \mathbf{j} \mathbf{k} \\ 3 5.196 0 \\ 6 0 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 3 \cdot 0 - 5.196 \cdot 6) = (0, 0, -31.176). \] 3. Угол \( \theta \) между вектором \( \overrightarrow{MC} \) и нормалью \( \overrightarrow{n} \) можно найти по формуле: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{MC}| |\overrightarrow{n}|}. \] 4. Сначала найдем скалярное произведение: \[ \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{n} = (3, -5.196, -4) \cdot (0, 0, -31.176) = 124.704. \] 5. Теперь найдем длины векторов: \[ |\overrightarrow{MC}| = \sqrt{3^2 + (-5.196)^2 + (-4)^2} \approx \sqrt{9 + 27.036 + 16} \approx \sqrt{52.036} \approx 7.22, \] \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-31.176)^2} = 31.176. \] 6. Подставим значения в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{124.704}{7.22 \cdot 31.176} \approx \frac{124.704}{225.5} \approx 0.553. \] 7. Найдем угол \( \theta \): \[ \theta \approx \cos^{-1}(0.553) \approx 56.5^\circ. \] Угол между прямой \( MC \) и плоскостью \( ABC \) составляет примерно \( 56.5^\circ \).