В усеченный конус вписана правильная усеченная п-угольная пирамида (т. е. основания пирамиды вписаны в основания усеченно-го конуса). Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 5 см, а высота равна 4 см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной усеченной п-угольной пирамиды, вписанной в усеченный конус, нам нужно рассмотреть несколько шагов.

Данные:

- Радиусы оснований усеченного конуса: \( R1 = 5 \) см (верхнее осн...2 = 2 \) см (нижнее основание). - Высота усеченного конуса \( h = 4 \) см. - Число сторон основания пирамиды \( n \). Поскольку основание пирамиды вписано в основание усеченного конуса, высота пирамиды будет равна высоте усеченного конуса, то есть \( h = 4 \) см. Радиусы оснований пирамиды будут равны радиусам оснований усеченного конуса, так как они вписаны в него. Таким образом: - Радиус верхнего основания пирамиды \( r1 = 5 \) см. - Радиус нижнего основания пирамиды \( r2 = 2 \) см. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды можно найти по формуле: \[ S1 + P_2) l \] где \( P2 \) — периметры оснований, а \( l \) — образующая (наклонная высота) пирамиды. - Для \( n \)-угольника: \[ P1 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \quad \text{и} \quad P2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \] Образующая \( l \) может быть найдена по теореме Пифагора: \[ l = \sqrt{h^2 + (r2)^2} = \sqrt{4^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \] Площадь полной поверхности пирамиды: \[ S{бок} + S_{осн} \] где \( S_{осн} \) — площадь основания, которая равна площади верхнего основания, так как основание пирамиды правильное. Площадь основания: \[ S_{осн} = \frac{n}{2} r^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \] 1. Периметры: \[ P_1 = 3 \cdot 5 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{2} \] \[ P_2 = 3 \cdot 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \] 2. Площадь боковой поверхности: \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \left(\frac{15\sqrt{3}}{2} + 3\sqrt{3}\right) \cdot 5 = \frac{1}{2} \left(\frac{15\sqrt{3}}{2} + \frac{6\sqrt{3}}{2}\right) \cdot 5 = \frac{21\sqrt{3}}{4} \cdot 5 = \frac{105\sqrt{3}}{4} \] 3. Площадь основания: \[ S_{осн} = \frac{3}{2} \cdot 5^2 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{3}{2} \cdot 25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{75\sqrt{3}}{4} \] 4. Полная площадь: \[ S_{пол} = \frac{105\sqrt{3}}{4} + \frac{75\sqrt{3}}{4} = \frac{180\sqrt{3}}{4} = 45\sqrt{3} \text{ см}^2 \] 1. Периметры: \[ P2 = 4 \cdot 2 = 8 \] 2. Площадь боковой поверхности: \[ S_{бок} = \frac{1}{2} (20 + 8) \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 5 = 70 \text{ см}^2 \] 3. Площадь основания: \[ S_{осн} = 4 \cdot \frac{5^2}{2} = 50 \text{ см}^2 \] 4. Полная площадь: \[ S_{пол} = 70 + 50 = 120 \text{ см}^2 \] 1. Периметры: \[ P2 = 6 \cdot 2 = 12 \] 2. Площадь боковой поверхности: \[ S_{бок} = \frac{1}{2} (30 + 12) \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 5 = 105 \text{ см}^2 \] 3. Площадь основания: \[ S_{осн} = 6 \cdot \frac{5^2}{2} = 75 \text{ см}^2 \] 4. Полная площадь: \[ S_{пол} = 105 + 75 = 180 \text{ см}^2 \] а) \( S_{пол} = 45\sqrt{3} \) см²; б) \( S_{пол} = 120 \) см²; в) \( S_{пол} = 180 \) см².