В усеченный конус вписана правильная усеченная п-угольная пирамида (т. е. основания пирамиды вписаны в основания усеченно-го конуса). Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 5 см, а высота равна 4 см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной усеченной п-угольной пирамиды, вписанной в усеченный конус, нам нужно рассмотреть несколько шагов.

Данные:

- Радиусы оснований усеченного конуса: $R1 = 5$ см (верхнее осн...2 = 2$ см (нижнее основание). - Высота усеченного конуса $h = 4$ см. - Число сторон основания пирамиды $n$.

Поскольку основание пирамиды вписано в основание усеченного конуса, высота пирамиды будет равна высоте усеченного конуса, то есть $h = 4$ см.

Радиусы оснований пирамиды будут равны радиусам оснований усеченного конуса, так как они вписаны в него. Таким образом:

• Радиус верхнего основания пирамиды $r1 = 5$ см.
• Радиус нижнего основания пирамиды $r2 = 2$ см.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды можно найти по формуле:

$$S1 + P_2) l$$

где $P2$ — периметры оснований, а $l$ — образующая (наклонная высота) пирамиды.

• Для $n$-угольника:
  $$P1 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \quad \text{и} \quad P2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$$

Образующая $l$ может быть найдена по теореме Пифагора:

$$l = \sqrt{h^2 + (r2)^2} = \sqrt{4^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$$

Площадь полной поверхности пирамиды:

$$S{бок} + S_{осн}$$

где $S_{осн}$ — площадь основания, которая равна площади верхнего основания, так как основание пирамиды правильное.

Площадь основания:

$$S_{осн} = \frac{n}{2} r^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$$

1. Периметры:

   $$P_1 = 3 \cdot 5 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{2}$$
   $$P_2 = 3 \cdot 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$

2. Площадь боковой поверхности:

   $$S_{бок} = \frac{1}{2} \left(\frac{15\sqrt{3}}{2} + 3\sqrt{3}\right) \cdot 5 = \frac{1}{2} \left(\frac{15\sqrt{3}}{2} + \frac{6\sqrt{3}}{2}\right) \cdot 5 = \frac{21\sqrt{3}}{4} \cdot 5 = \frac{105\sqrt{3}}{4}$$

3. Площадь основания:

   $$S_{осн} = \frac{3}{2} \cdot 5^2 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{3}{2} \cdot 25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{75\sqrt{3}}{4}$$

4. Полная площадь:

   $$S_{пол} = \frac{105\sqrt{3}}{4} + \frac{75\sqrt{3}}{4} = \frac{180\sqrt{3}}{4} = 45\sqrt{3} \text{ см}^2$$

5. Периметры:

   $$P2 = 4 \cdot 2 = 8$$

6. Площадь боковой поверхности:

   $$S_{бок} = \frac{1}{2} (20 + 8) \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 5 = 70 \text{ см}^2$$

7. Площадь основания:

   $$S_{осн} = 4 \cdot \frac{5^2}{2} = 50 \text{ см}^2$$

8. Полная площадь:

   $$S_{пол} = 70 + 50 = 120 \text{ см}^2$$

9. Периметры:

   $$P2 = 6 \cdot 2 = 12$$

10. Площадь боковой поверхности:

    $$S_{бок} = \frac{1}{2} (30 + 12) \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 5 = 105 \text{ см}^2$$

11. Площадь основания:

    $$S_{осн} = 6 \cdot \frac{5^2}{2} = 75 \text{ см}^2$$

12. Полная площадь:

    $$S_{пол} = 105 + 75 = 180 \text{ см}^2$$

а) $S_{пол} = 45\sqrt{3}$ см²;
б) $S_{пол} = 120$ см²;
в) $S_{пол} = 180$ см².