Внутри правильного треугольника отметили точку с расстояниями до вершин, равными 3, 4 и 5. Найдите площадь треугольника.

Заполните пропуски в тексте, чтобы получилось правильное решение.

Задача. Внутри правильного треугольника отметили точку с расстояниями до вершин, равными 3
, 4
и 5
. Найдите площадь треугольника.

Решение. Предположим, что внутри правильного треугольника ABC
отмечена такая точка P
, что PA=3
, PB=4
, PC=5
. Пусть при повороте относительно точки A
на 60∘
точка B
переходит в точку C
, точка C
переходит в точку C1
, а точка P
— в точку P1
.



Тогда треугольник PAP1
является
Выбрать
и его площадь равна
⋅3–√
. Отрезок CP1
получается поворотом из отрезка
Выбрать
, поэтому у треугольника PCP1
стороны равны 3
, 4
и 5
. Следовательно, по теореме Пифагора треугольник PCP1
является прямоугольным и его площадь равна
. С другой стороны,
⋅3–√+
=SPAP1+SPCP1=SAPC+SAP1C=SAPC+

Выбрать
.
Аналогичными рассуждениями, рассматривая повороты на 60∘
с центрами в точках B
и C
, получаем равенства
⋅3–√+
=SBPA+SCPB
и
⋅3–√+
=SCPB+SAPC.
Складывая все три полученных равенства и деля пополам, заключаем, что
SABC=
⋅3–√+
.