Для решения задачи о времени опорожнения цилиндрического резервуара, заполненного спиртом, будем использовать уравнение, основанное на законе Бернулли и уравнении непрерывности.
Ш...
1. \( D = 3,0 \, \text{м} \)
2. \( d = 100 \, \text{мм} = 0,1 \, \text{м} \)
3. \( l = 20 \, \text{м} \)
4. \( H = 2,5 \, \text{м} \)
5. :
- Входа \( \zeta_{\text{входа}} = 0,5 \)
- Задвижки \( \zeta_{\text{задвижки}} = 1,4 \)
6. \( \lambda = 0,03 \)
Площадь сечения резервуара \( S \) и трубы \( s \):
\[
S = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (3,0)^2}{4} = \frac{9\pi}{4} \approx 7,0686 \, \text{м}^2
\]
\[
s = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (0,1)^2}{4} = \frac{\pi (0,01)}{4} \approx 0,007854 \, \text{м}^2
\]
Общее сопротивление в системе можно выразить через потери давления:
\[
\Delta P = \Delta P{\text{вход}} + \Delta P_{\text{задвижка}}
\]
Где:
\[
\Delta P_{\text{трение}} = \lambda \cdot \frac{l}{d} \cdot \frac{\rho g H}{2}
\]
\[
\Delta P{\text{входа}} \cdot \frac{\rho g H}{2}
\]
\[
\Delta P{\text{задвижки}} \cdot \frac{\rho g H}{2}
\]
Подставим значения в формулы:
1. Потери на трение:
\[
\Delta P_{\text{трение}} = 0,03 \cdot \frac{20}{0,1} \cdot \frac{\rho g H}{2} = 6 \cdot \frac{\rho g H}{2}
\]
2. Потери на входе:
\[
\Delta P_{\text{вход}} = 0,5 \cdot \frac{\rho g H}{2}
\]
3. Потери на задвижке:
\[
\Delta P_{\text{задвижка}} = 1,4 \cdot \frac{\rho g H}{2}
\]
Теперь сложим все потери:
\[
\Delta P = 6 \cdot \frac{\rho g H}{2} + 0,5 \cdot \frac{\rho g H}{2} + 1,4 \cdot \frac{\rho g H}{2}
\]
\[
\Delta P = (6 + 0,5 + 1,4) \cdot \frac{\rho g H}{2} = 7,9 \cdot \frac{\rho g H}{2}
\]
Используем уравнение для скорости истечения жидкости:
\[
v = \sqrt{\frac{2 \Delta P}{\rho}}
\]
Подставим \( \Delta P \):
\[
v = \sqrt{\frac{2 \cdot 7,9 \cdot \frac{\rho g H}{2}}{\rho}} = \sqrt{7,9 g H}
\]
Используем уравнение для времени опорожнения:
\[
t = \frac{V}{Q}
\]
Где \( V \) — объем спирта, \( Q \) — расход жидкости:
\[
V = S \cdot H = 7,0686 \cdot 2,5 \approx 17,6715 \, \text{м}^3
\]
Расход жидкости \( Q = s \cdot v \):
\[
Q = 0,007854 \cdot \sqrt{7,9 \cdot 9,81 \cdot 2,5}
\]
Сначала найдем \( v \):
\[
v = \sqrt{7,9 \cdot 9,81 \cdot 2,5} \approx \sqrt{193.225} \approx 13,9 \, \text{м/с}
\]
Теперь найдем \( Q \):
\[
Q = 0,007854 \cdot 13,9 \approx 0,109 \, \text{м}^3/\text{с}
\]
Теперь подставим в формулу для времени:
\[
t = \frac{17,6715}{0,109} \approx 162,5 \, \text{с}
\]
Время опорожнения резервуара составляет примерно \( 162,5 \, \text{с} \) или около \( 2,7 \, \text{минут} \).
