3. Задача. Цилиндрический резервуар диаметром D=3,0 ~m, заполненный спиртом, оборудован аварийным сливом в виде трубы диаметром d=100 mм, длиной l=20 ~m, с задвижкой. Определить время опорожнения резервуара, если начальный уровень спирта в резервуаре

Для решения задачи о времени опорожнения цилиндрического резервуара, заполненного спиртом, будем использовать уравнение, основанное на законе Бернулли и уравнении непрерывности.

Ш...

1. $D = 3,0 \, \text{м}$
2. $d = 100 \, \text{мм} = 0,1 \, \text{м}$
3. $l = 20 \, \text{м}$
4. $H = 2,5 \, \text{м}$
5. :
   • Входа $\zeta_{\text{входа}} = 0,5$
   • Задвижки $\zeta_{\text{задвижки}} = 1,4$
6. $\lambda = 0,03$

Площадь сечения резервуара $S$ и трубы $s$:

$$S = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (3,0)^2}{4} = \frac{9\pi}{4} \approx 7,0686 \, \text{м}^2$$

$$s = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (0,1)^2}{4} = \frac{\pi (0,01)}{4} \approx 0,007854 \, \text{м}^2$$

Общее сопротивление в системе можно выразить через потери давления:

$$\Delta P = \Delta P{\text{вход}} + \Delta P_{\text{задвижка}}$$

Где:

$$\Delta P_{\text{трение}} = \lambda \cdot \frac{l}{d} \cdot \frac{\rho g H}{2}$$

$$\Delta P{\text{входа}} \cdot \frac{\rho g H}{2}$$

$$\Delta P{\text{задвижки}} \cdot \frac{\rho g H}{2}$$

Подставим значения в формулы:

1. Потери на трение:

$$\Delta P_{\text{трение}} = 0,03 \cdot \frac{20}{0,1} \cdot \frac{\rho g H}{2} = 6 \cdot \frac{\rho g H}{2}$$

2. Потери на входе:

$$\Delta P_{\text{вход}} = 0,5 \cdot \frac{\rho g H}{2}$$

3. Потери на задвижке:

$$\Delta P_{\text{задвижка}} = 1,4 \cdot \frac{\rho g H}{2}$$

Теперь сложим все потери:

$$\Delta P = 6 \cdot \frac{\rho g H}{2} + 0,5 \cdot \frac{\rho g H}{2} + 1,4 \cdot \frac{\rho g H}{2}$$

$$\Delta P = (6 + 0,5 + 1,4) \cdot \frac{\rho g H}{2} = 7,9 \cdot \frac{\rho g H}{2}$$

Используем уравнение для скорости истечения жидкости:

$$v = \sqrt{\frac{2 \Delta P}{\rho}}$$

Подставим $\Delta P$:

$$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 7,9 \cdot \frac{\rho g H}{2}}{\rho}} = \sqrt{7,9 g H}$$

Используем уравнение для времени опорожнения:

$$t = \frac{V}{Q}$$

Где $V$ — объем спирта, $Q$ — расход жидкости:

$$V = S \cdot H = 7,0686 \cdot 2,5 \approx 17,6715 \, \text{м}^3$$

Расход жидкости $Q = s \cdot v$:

$$Q = 0,007854 \cdot \sqrt{7,9 \cdot 9,81 \cdot 2,5}$$

Сначала найдем $v$:

$$v = \sqrt{7,9 \cdot 9,81 \cdot 2,5} \approx \sqrt{193.225} \approx 13,9 \, \text{м/с}$$

Теперь найдем $Q$:

$$Q = 0,007854 \cdot 13,9 \approx 0,109 \, \text{м}^3/\text{с}$$

Теперь подставим в формулу для времени:

$$t = \frac{17,6715}{0,109} \approx 162,5 \, \text{с}$$

Время опорожнения резервуара составляет примерно $162,5 \, \text{с}$ или около $2,7 \, \text{минут}$.