По заданному полю скоростей вычислить Траекторию частиц жидкости, проходящую при через точку с координатами ; Линию тока, проходящую при через точку с координатами ; Тензор скоростей деформации для данного течения; Скорость объемного расширения жидкости;

Ниже решим поставленную задачу для поля скоростей

  v = (vₓ, v_y), где vₓ = 2x + 3y и v_y = 4y – t,

при условии, что в момент t = 0 частица имеет координаты
  x(0) = –3/4, y(0) = 1/16.

Представляем пошаговое решение для всех пунктов:

──────────────────────────────

1. Нахождение траектории (пути) частицы
   
   Фазовая (материальная) траектория определяется системой дифференциальных уравнений:
     dx/dt = vₓ = 2x + 3y   … (1)
     dy/dt = v_y = 4y – t   … (2)
   с начальными условиями
     x(0) = –3/4, y(0) = 1/16.
   
   Начнём с (2).
   
     A. Решение уравнения для y(t):
   
   Уравнение
     dy/dt – 4y = – t
   – линейное неоднородное с интегрирующим множителем.
   Интегрирующий множитель:
     μ(t) = exp[–∫4 dt] = e^(–4t).
   
   Умножим уравнение на e^(–4t):
     d/dt (e^(–4t) y) = – t e^(–4t).
   
   Теперь проинтегрируем:
     e^(–4t) y = ∫[ – t e^(–4t) ] dt + C₁.
   
   Найдем ∫ t e^(–4t) dt. Сделаем интегрирование по частям:
     положим u = t (тогда du = dt), dv = e^(–4t) dt (тогда v = – (1/4)e^(–4t)).
   Получаем:
     ∫ t e^(–4t) dt = –(t/4)e^(–4t) + (1/4)∫ e^(–4t) dt
                     = –(t/4)e^(–4t) – (1/16)e^(–4t) + константа.
   
   Таким образом,
     ∫[ – t e^(–4t) ] dt = (t/4)e^(–4t) + (1/16)e^(–4t) + константа.
   
   Обозначим константу произвольной как C₁, тогда:
     e^(–4t) y = (t/4 + 1/16)e^(–4t) + C₁  ⇒ y(t) = t/4 + 1/16 + C₁ e^(4t).
   
   Нанесём начальное условие y(0) = 1/16:
     1/16 = 0 + 1/16 + C₁  ⇒ C₁ = 0.
   Однако! Заметим знак: при интегрировании важно правильно соблюдать знаки.
   Перепроверим внимательно:
   Исходное уравнение имело правую часть –t. При вычислении интеграла:
     e^(–4t) y = [ (t/4) + 1/16 ] e^(–4t) + C₁ ⟹ y(t) = t/4 + 1/16 + C₁ e^(4t).
   
   Подставляя t = 0:
     y(0) = 0 + 1/16 + C₁ = 1/16  ⇒ C₁ = 0.
   Таким образом получаем окончательный вид:
     y(t) = t/4 + 1/16.
   
   Но! Здесь важно сверить знак: при интегрировании ∫ – t e^(–4t) dt получился плюс, что приводит к положительному t/4. Если хотим проверить – производная y(t) должна быть равна 4y – t.
   Проверим: y(t) = t/4 + 1/16 ⇒ dy/dt = 1/4.
   Подставим в правую часть: 4(t/4 + 1/16) – t = t + 4/16 – t = 1/4.
   Условие выполняется. Значит, функция y(t) найдена правильно.
   
     B. Решение уравнения для x(t):
   
   Теперь уравнение (1):
     dx/dt = 2x + 3y(t) = 2x + 3(t/4 + 1/16).
   Запишем его в виде:
     dx/dt – 2x = 3t/4 + 3/16.
   Это – линейное неоднородное уравнение относительно x.
   
   Интегрирующий множитель:
     μ(t) = exp[–∫2 dt] = e^(–2t).
   
   Умножаем уравнение на μ(t):
     d/dt [e^(–2t)x] = e^(–2t) [3t/4 + 3/16].
   
   Найдем правую часть по интегралу:
     I = ∫ e^(–2t)[3t/4 + 3/16] dt = 3/4∫ t e^(–2t) dt + 3/16∫ e^(–2t) dt.
   Снова вычислим ∫ t e^(–2t) dt интегрированием по частям:
     Положим U = t, dV = e^(–2t) dt, тогда dU = dt, V = –(1/2)e^(–2t).
   Получаем:
     ∫ t e^(–2t) dt = –t/2 e^(–2t) + (1/2)∫ e^(–2t) dt = –t/2 e^(–2t) – 1/4 e^(–2t) + константа.
   Также,
     ∫ e^(–2t) dt = –1/2 e^(–2t).
   
   Таким образом:
     I = 3/4 [ –t/2 e^(–2t) – 1/4 e^(–2t)] + 3/16 [ –1/2 e^(–2t)]
       = –(3t)/(8)e^(–2t) – (3)/(16)e^(–2t) – (3)/(32)e^(–2t)
       = –(3t)/(8)e^(–2t) – ( (3/16)+(3/32) ) e^(–2t)
       = –(3t)/(8)e^(–2t) – (9/32)e^(–2t).
   
   Итак, имеем:
     e^(–2t)x = I + C₂ = –(3t)/(8)e^(–2t) – (9/32)e^(–2t) + C₂.
   Умножая на e^(2t):
     x(t) = –(3t)/8 – 9/32 + C₂ e^(2t).
   
   Найдем константу, используя x(0) = –3/4:
     x(0) = –0 – 9/32 + C₂ = –3/4 ⇒ C₂ = –3/4 + 9/32.
     Приведем к общему знаменателю: –3/4 = –24/32, таким образом C₂ = (–24 + 9)/32 = –15/32.
   
   Итак, окончательно:
     x(t) = –(3t)/8 – 9/32 – (15/32)e^(2t).
   
   Проверим, что при t = 0 получаем –9/32 – 15/32 = –24/32 = –3/4. Условие выполнено.
   
   Таким образом, траектория (x(t), y(t)) имеет вид:
     x(t) = –(3t)/8 – 9/32 – (15/32)e^(2t),
     y(t) = t/4 + 1/16.
   
   ──────────────────────────────
   
2. Нахождение линии тока при t = 0
   
   Линии тока (streamline) для несмещённого в пространстве поля в фиксированный момент времени определяются уравнением
     dy/dx = v_...