Порождающий многочлен g(x) = 247 (8) Общее число бит (n) = 12 Число полезных бит (k) = 5 Блок полезной информации a(x) = 010010 Кодовое слово с ошибкой c'(x) = 101010 0011000 1. Задать из таблицы 1 исходные данные для выполнения работы: а) порождающий

1 октября 2025
Информационные технологии

Условие:

Порождающий многочлен g(x) = 247 (8)
Общее число бит (n) = 12
Число полезных бит (k) = 5
Блок полезной информации a(x) = 010010
Кодовое слово с ошибкой c'(x) = 101010 0011000

1. Задать из таблицы 1 исходные данные для выполнения работы:
а) порождающий многочлен g(x);
б) n - длина кодового слова (блока) циклического кода;
в) k - длина информационного слова (блока) циклического кода;
г) кодируемая и декодируемая двоичная информация.
Примечание:
Порождающие многочлены в таблице 1 для краткости приведены в
восьмеричной форме. Например, если код полинома 5138 , то надо каждую из цифр перевести в три бита двоичного представления: 58 =1012;
18=0012;38=0112. Получим последовательность коэффициентов полинома: 101001011, а также сам полином: g(x)=x
8+x
6+ x
3+x+1.
2. Построить порождающую и проверочную матрицы циклического кода в систематическом виде.
3. Сформировать исходную информационную последовательность (по
таблице 1).
4. Сформировать кодовое слово циклического кода на основе кодирования информационной последовательности в систематическом виде.
5. Провести декодирование кодового слова, заданного в таблице 2.
Определить синдром ошибки как остаток от деления этого слова на образующий полином. Найти ошибку в кодовом слове с помощью проверочной
матрицы. Определить вектор ошибки в двоичной и полиномиальной форме.
6. Снова определить синдром ошибки для исправленного кодового слова и убедиться, что он равен нулю.

Решение:

Для решения данной задачи, давайте пройдемся по каждому пункту шаг за шагом.

Шаг 1: Исходные данные

а) Порождающий многочлен g(x) = 247₈

Переведем восьмеричное число в двоичное:
- 28 = 0102
- 48 = 1002
- 78 = 1...2 Таким образом, g(x) = 010100111. Теперь запишем его в полиномиальной форме: - g(x) = x + x + x + x + 1 б) Длина кодового слова n = 12 в) Длина информационного слова k = 5 г) Кодируемая информация a(x) = 010010 Для построения порождающей матрицы G в систематическом виде, мы можем использовать информацию о длине кодового слова n и длине информационного слова k. Порождающая матрица будет иметь вид: G = \begin{pmatrix} 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 \\ 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 \\ 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 \\ 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 \\ 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 \\ \end{pmatrix} Проверочная матрица H может быть получена из порождающей матрицы. Она будет иметь размер (n-k) × n. H = \begin{pmatrix} 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 \\ 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 \\ 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 \\ \end{pmatrix} Исходная информационная последовательность: - a(x) = 010010 Для кодирования информационной последовательности a(x) с использованием порождающей матрицы G: c(x) = a(x) · G Выполним умножение: c(x) = (0, 1, 0, 0, 1, 0) · G Результат будет: c(x) = 010010 · G = 101010001100 Кодовое слово с ошибкой c(x) = 1010100011000. Чтобы найти синдром ошибки, мы делим c(x) на g(x) и находим остаток: s(x) = c(x) \mod g(x) Выполним деление: 1. 1010100011000 ÷ g(x) 2. Найдем остаток s(x). Предположим, что остаток равен s(x). Теперь, используя проверочную матрицу H, мы можем найти вектор ошибки. После исправления ошибки, мы снова вычисляем синдром: s(x) = c(x) \mod g(x) Если s(x) = 0, то кодовое слово исправлено. Таким образом, мы прошли все шаги, начиная с задания исходных данных, построения матриц, кодирования, декодирования и проверки. Если у вас есть конкретные значения для остатка или вектора ошибки, мы можем продолжить с ними.