Условие:
Имеются следующие данные по доходности оцениваемой акции и рыночного портфеля:
1 2 3 4
rA,t 0,07 0,05 0,11 0,05
rm,t 0,09 0,08 0,13 0,02
Вычислены параметры регрессионного уравнения: αА=0,0287; βА=0,5161. Оцените дисперсию случайной ошибки σ2Е.A двумя способами:
А) по формуле σ²Е,А=1/(N-2)=∑_(t=1)N[rA,t-(αA+βA*rm,t)]2;
Б) исходя из того, что σ²А= β2A* σ²m+ σ²E,A
Одинаковые ли значения σ²E,A при этом получаются?
Решение:
Для решения задачи, давайте поэтапно вычислим дисперсию случайной ошибки σ²E,A двумя предложенными способа...
- Доходность акции (rA,t): 0,07; 0,05; 0,11; 0,05 - Доходность рыночного портфеля (rm,t): 0,09; 0,08; 0,13; 0,02 - Параметры регрессии: αA = 0,0287; βA = 0,5161 Формула для дисперсии случайной ошибки: \[ σ²E,A = \frac{1}{N-2} \sum_{t=1}^{N} \left[rA,t - (αA + βA \cdot rm,t)\right]^2 \] Где N - количество наблюдений (в данном случае N = 4). 1. Для t = 1: \[ rA,1 = 0,07, \quad rm,1 = 0,09 \] \[ \text{Предсказанное значение} = αA + βA \cdot rm,1 = 0,0287 + 0,5161 \cdot 0,09 = 0,0287 + 0,04645 = 0,07515 \] \[ \left[rA,1 - (αA + βA \cdot rm,1)\right]^2 = (0,07 - 0,07515)^2 = (-0,00515)^2 = 0,0000265225 \] 2. Для t = 2: \[ rA,2 = 0,05, \quad rm,2 = 0,08 \] \[ \text{Предсказанное значение} = 0,0287 + 0,5161 \cdot 0,08 = 0,0287 + 0,041288 = 0,069988 \] \[ \left[rA,2 - (αA + βA \cdot rm,2)\right]^2 = (0,05 - 0,069988)^2 = (-0,019988)^2 = 0,00039952 \] 3. Для t = 3: \[ rA,3 = 0,11, \quad rm,3 = 0,13 \] \[ \text{Предсказанное значение} = 0,0287 + 0,5161 \cdot 0,13 = 0,0287 + 0,067093 = 0,095793 \] \[ \left[rA,3 - (αA + βA \cdot rm,3)\right]^2 = (0,11 - 0,095793)^2 = (0,014207)^2 = 0,00020183 \] 4. Для t = 4: \[ rA,4 = 0,05, \quad rm,4 = 0,02 \] \[ \text{Предсказанное значение} = 0,0287 + 0,5161 \cdot 0,02 = 0,0287 + 0,010322 = 0,039022 \] \[ \left[rA,4 - (αA + βA \cdot rm,4)\right]^2 = (0,05 - 0,039022)^2 = (0,010978)^2 = 0,00012056 \] \[ \sum_{t=1}^{N} \left[rA,t - (αA + βA \cdot rm,t)\right]^2 = 0,0000265225 + 0,00039952 + 0,00020183 + 0,00012056 = 0,00074843 \] \[ σ²E,A = \frac{1}{4-2} \cdot 0,00074843 = \frac{0,00074843}{2} = 0,000374215 \] Формула: \[ σ²A = βA^2 \cdot σ²m + σ²E,A \] Сначала нам нужно найти σ²A и σ²m. Для этого мы можем использовать доходности рыночного портфеля. 1. Среднее значение rm: \[ \bar{rm} = \frac{0,09 + 0,08 + 0,13 + 0,02}{4} = \frac{0,34}{4} = 0,085 \] 2. Вычисляем дисперсию σ²m: \[ σ²m = \frac{1}{N-1} \sum_{t=1}^{N} (rm,t - \bar{rm})^2 \] Подсчитаем для каждого t: 1. Для t = 1: \[ (0,09 - 0,085)^2 = (0,005)^2 = 0,000025 \] 2. Для t = 2: \[ (0,08 - 0,085)^2 = (-0,005)^2 = 0,000025 \] 3. Для t = 3: \[ (0,13 - 0,085)^2 = (0,045)^2 = 0,002025 \] 4. Для t = 4: \[ (0,02 - 0,085)^2 = (-0,065)^2 = 0,004225 \] Суммируем: \[ \sum_{t=1}^{N} (rm,t - \bar{rm})^2 = 0,000025 + 0,000025 + 0,002025 + 0,004225 = 0,0063 \] Теперь вычисляем σ²m: \[ σ²m = \frac{0,0063}{4-1} = \frac{0,0063}{3} = 0,0021 \] \[ σ²A = βA^2 \cdot σ²m + σ²E,A \] \[ σ²A = (0,5161^2) \cdot 0,0021 + 0,000374215 \] \[ σ²A = 0,2663 \cdot 0,0021 + 0,000374215 = 0,00055863 + 0,000374215 = 0,000932845 \] - По формуле (А): σ²E,A = 0,000374215 - По формуле (Б): σ²E,A = 0,000932845 Значения σ²E,A, полученные двумя способами, не совпадают.