Имеются следующие данные по доходности оцениваемой акции и рыночного портфеля: 1 2 3 4 rA,t 0,07 0,05 0,11 0,05 rm,t 0,09 0,08 0,13 0,02 Вычислены параметры регрессионного уравнения: αА=0,0287; βА=0,5161. Оцените дисперсию случайной ошибки σ2Е.A двумя

Для решения задачи, давайте поэтапно вычислим дисперсию случайной ошибки σ²E,A двумя предложенными способа...

- Доходность акции (rA,t): 0,07; 0,05; 0,11; 0,05 - Доходность рыночного портфеля (rm,t): 0,09; 0,08; 0,13; 0,02 - Параметры регрессии: αA = 0,0287; βA = 0,5161

Формула для дисперсии случайной ошибки:

$$σ²E,A = \frac{1}{N-2} \sum_{t=1}^{N} \left[rA,t - (αA + βA \cdot rm,t)\right]^2$$

Где N - количество наблюдений (в данном случае N = 4).

1. Для t = 1:

   $$rA,1 = 0,07, \quad rm,1 = 0,09$$
   $$\text{Предсказанное значение} = αA + βA \cdot rm,1 = 0,0287 + 0,5161 \cdot 0,09 = 0,0287 + 0,04645 = 0,07515$$
   $$\left[rA,1 - (αA + βA \cdot rm,1)\right]^2 = (0,07 - 0,07515)^2 = (-0,00515)^2 = 0,0000265225$$

2. Для t = 2:

   $$rA,2 = 0,05, \quad rm,2 = 0,08$$
   $$\text{Предсказанное значение} = 0,0287 + 0,5161 \cdot 0,08 = 0,0287 + 0,041288 = 0,069988$$
   $$\left[rA,2 - (αA + βA \cdot rm,2)\right]^2 = (0,05 - 0,069988)^2 = (-0,019988)^2 = 0,00039952$$

3. Для t = 3:

   $$rA,3 = 0,11, \quad rm,3 = 0,13$$
   $$\text{Предсказанное значение} = 0,0287 + 0,5161 \cdot 0,13 = 0,0287 + 0,067093 = 0,095793$$
   $$\left[rA,3 - (αA + βA \cdot rm,3)\right]^2 = (0,11 - 0,095793)^2 = (0,014207)^2 = 0,00020183$$

4. Для t = 4:

   $$rA,4 = 0,05, \quad rm,4 = 0,02$$
   $$\text{Предсказанное значение} = 0,0287 + 0,5161 \cdot 0,02 = 0,0287 + 0,010322 = 0,039022$$
   $$\left[rA,4 - (αA + βA \cdot rm,4)\right]^2 = (0,05 - 0,039022)^2 = (0,010978)^2 = 0,00012056$$

$$\sum_{t=1}^{N} \left[rA,t - (αA + βA \cdot rm,t)\right]^2 = 0,0000265225 + 0,00039952 + 0,00020183 + 0,00012056 = 0,00074843$$

$$σ²E,A = \frac{1}{4-2} \cdot 0,00074843 = \frac{0,00074843}{2} = 0,000374215$$

Формула:

$$σ²A = βA^2 \cdot σ²m + σ²E,A$$

Сначала нам нужно найти σ²A и σ²m. Для этого мы можем использовать доходности рыночного портфеля.

1. Среднее значение rm:

   $$\bar{rm} = \frac{0,09 + 0,08 + 0,13 + 0,02}{4} = \frac{0,34}{4} = 0,085$$

2. Вычисляем дисперсию σ²m:

   $$σ²m = \frac{1}{N-1} \sum_{t=1}^{N} (rm,t - \bar{rm})^2$$

Подсчитаем для каждого t:

1. Для t = 1:
   $$(0,09 - 0,085)^2 = (0,005)^2 = 0,000025$$
2. Для t = 2:
   $$(0,08 - 0,085)^2 = (-0,005)^2 = 0,000025$$
3. Для t = 3:
   $$(0,13 - 0,085)^2 = (0,045)^2 = 0,002025$$
4. Для t = 4:
   $$(0,02 - 0,085)^2 = (-0,065)^2 = 0,004225$$

Суммируем:

$$\sum_{t=1}^{N} (rm,t - \bar{rm})^2 = 0,000025 + 0,000025 + 0,002025 + 0,004225 = 0,0063$$

Теперь вычисляем σ²m:

$$σ²m = \frac{0,0063}{4-1} = \frac{0,0063}{3} = 0,0021$$

$$σ²A = βA^2 \cdot σ²m + σ²E,A$$

$$σ²A = (0,5161^2) \cdot 0,0021 + 0,000374215$$

$$σ²A = 0,2663 \cdot 0,0021 + 0,000374215 = 0,00055863 + 0,000374215 = 0,000932845$$

• По формуле (А): σ²E,A = 0,000374215
• По формуле (Б): σ²E,A = 0,000932845

Значения σ²E,A, полученные двумя способами, не совпадают.