Курс лекций состоял из 35 пар. На каждой паре присутствовало ровно 27 студентов. Оказалось, что на любых трех занятиях был ровно один общий студент. Верно ли то, что был студент, посетивший все пары?

Наша задача – доказать, что при данных условиях обязательно существует такой студент, который присутствовал на каждой из 35 пар.

Пусть имеется 35 занятий, на каждом из которых ровно 27 студентов. Для каждого занятия обозначим через L₁, L₂, …, L₃₅ соответствующие множества студентов (каждое имеет мощность 27). Условие гласит, что для любых трёх занятий (то есть для любых i, j, k) их пересечение Lᵢ ∩ Lⱼ ∩ Lₖ состоит ровно из одного студента.

Обозначим для каждого студента s число посещённых им занятий через tₛ. Тогда суммарное число посещений по всем студентам равно...