Определите, какие из следующих отношений на множество всех целых чисел) являются отношениями эквивалентности: Найдите классы эквивалентности. \[ {array}{l} {1}: (x{1}, y{1} ) R{1} (x{2}, y{2} ) x{1}=x{2} ; \\ R{2}: (x{1}, y{1} ) R{2} (x{2}, y{2} )

Добавлена: 30.04.2026
Обновлена: 30.04.2026
Предмет: Логика
Автор: Кэмп

#Математическая логика
#Теория множеств

$Определите, какие из следующих отношений на множество всех целых чисел) являются отношениями эквивалентности: Найдите классы эквивалентности. \[ {array}{l} {1}: (x{1}, y{1} ) R{1} (x{2}, y{2} ) x{1}=x{2} ; \\ R{2}: (x{1}, y{1} ) R{2} (x{2}, y{2} )$

Условие:

Определите, какие из следующих отношений на $\mathbb{Z}^{2}(\mathbb{Z}-$ множество всех целых чисел) являются отношениями эквивалентности: Найдите классы эквивалентности. $

\begin{array}{l}\nR_{1}:\left(x_{1}, y_{1}\right) R_{1}\left(x_{2}, y_{2}\right) \leftrightarrow x_{1}=x_{2} ; \\ R_{2}:\left(x_{1}, y_{1}\right) R_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right) \leftrightarrow x_{1}=x_{2} \text { или } y_{1}=y_{2} ; \\ R_{3}:\left(x_{1}, y_{1}\right) R_{3}\left(x_{2}, y_{2}\right) \leftrightarrow x_{1}+y_{1}=x_{2}+y_{2} ; \\ R_{4}:\left(x_{1}, y_{1}\right) R_{4}\left(x_{2}, y_{2}\right) \leftrightarrow x_{1}+y_{2}=y_{1}+x_{2} ; \\ R_{5}:\left(x_{1}, y_{1}\right) R_{5}\left(x_{2}, y_{2}\right) \leftrightarrow x_{1}<x_{2} \text { или } x_{1}=x_{2}, y_{1} \leq y_{2} ; \\ R_{6}:\left(x_{1}, y_{1}\right) R_{6}\left(x_{2}, y_{2}\right) \leftrightarrow \max \left\{x_{1}, y_{1}\right\}=\max \left\{x_{2}, y_{2}\right\} . \end{array}

Решение:

R₁: (x₁, y₁) R₁ (x₂, y₂) ⇔ x₁ = x₂.
Шаг 1. Проверка рефлексивности. Для любого (x, y) выполняется x = x, значит (x, y) R₁ (x, y).
Шаг 2. Симметричность: Если (x₁, y₁) R₁ (x₂, y₂), то x₁ = x₂, значит x₂ = x₁, и получаем (x₂, y₂) R₁ (x₁, y₁).
Шаг 3. Транзитивность: Если (x₁, y₁) R₁ (x₂, y₂) (x₁ = x₂) и (x₂, y₂) R₁ (x₃, y₃) (x₂ = x₃), то x₁ = x₃, следовательно (x₁, y₁) R₁ (x₃, y₃).
Вывод: R₁ – отношение эквивалентности.
Классы эквивалентности: Для любого целого числа a класс эквивалентности имеет вид { (a, y) : y ∈ ℤ }.
R₂: (x₁, y₁) R₂ (x₂,...