Пять человек оставили свои шляпы в гардеробе. Гардеробщик, будучи немного рассеянным, отдал каждую шляпу какому-то из этих пяти человек, но так, что никому не досталась его собственная шляпа. Сколькими способами это можно сделать?

1. Дано

• Количество людей (и шляп): $n = 5$.
• Условие: Никто не должен получить свою собственную шляпу.

2. Найти

Количество способов раздать шляпы так, чтобы ни один человек не получил свою шляпу (число беспорядков $D_5$).

3. Решение

Пусть $S$ — множество всех возможных способов раздачи шляп пяти людям. Пусть $A_i$ — свойство, заключающееся в том, что $i$-й человек получил свою собственную шляпу. Нам нужно найти число способов, когда ни одно из свойств $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ не выполняется.

По принципу включения-исключения, искомое число $D_5$ равно: