Выяснить, будет ли оператор пространства линейным, если: а) , где некоторый фиксированный элемент пространства ; б) для любого вектора ; в) , где ; г) , где .

Добавлена: 05.05.2026
Обновлена: 05.05.2026
Предмет: Логика
Автор: Кэмп

#Основы формальной логики
#Математическая логика

Выяснить, будет ли оператор пространства линейным, если: а) , где некоторый фиксированный элемент пространства ; б) для любого вектора ; в) , где ; г) , где .

Условие:

Выяснить, будет ли оператор $\varphi$ пространства $V$ линейным, если: а) $f(\alpha)=\alpha+\alpha$ , где $\alpha^{\prime} \neq \theta$ некоторый фиксированный элемент пространства $V$ ; б) $\varphi(x)=2 x$ для любого вектора $x \in V$ ; в) $\varphi\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, x_{2}+x_{3}, x_{3}+x_{1}\right)$ , где $V=R^{3}$ ; г) $\varphi\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+1, x_{2}+2, x_{3}+3\right)$ , где $V=R^{3}$ .

Решение:

Рассмотрим каждое преобразование по отдельности и проверим условие линейности. Напомним, что отображение φ: V → V является линейным, если для любых векторов x, y ∈ V и любого скаляра λ выполняются два свойства:

Однородность (линейность по скаляру): φ(λx) = λ·φ(x)
Аддитивность (сохранение сложения): φ(x + y) = φ(x) + φ(y)

Также важное свойство линейного оператора — φ(0) =
0.

Ниже пошагово рассмотрим каждый случай.

────────────────────────────
а) φ(α) = α + α′, где α′ — фиксированный, но ненулевой элемент V.
<br...