Определить собственный кватернион в подвижных осях при развороте твердого тела на угол рысканья ψ = 30°, затем на угол крена γ= 60° Определить угол плоского поворота вокруг Эйлеровой оси и направляющие косинусы Эйлеровой оси.

Для решения задачи о нахождении собственного кватерниона и угла плоского поворота вокруг Эйлеровой оси, а также направляющих косинусов Эйлеровой оси, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Определение углов Эйлера

У нас есть два угла поворота:
- Угол рысканья (yaw) $\psi = 30^\circ$
- Угол крена (roll) $\gamma = 60^\circ$

Шаг 2: Пр...

Для работы с тригонометрическими функциями удобно преобразовать углы в радианы: - $\psi = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$ радиан - $\gamma = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ радиан

Кватернион для поворота на угол $\theta$ вокруг оси $\mathbf{n}$ можно выразить как:

$$q = \left( \cos\left(\frac{\theta}{2}\right), \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \mathbf{n} \right)$$

Ось вращения для рысканья (обычно ось Z):

$$q_{\psi} = \left( \cos\left(\frac{\psi}{2}\right), 0, 0, \sin\left(\frac{\psi}{2}\right) \right) = \left( \cos\left(\frac{\pi}{12}\right), 0, 0, \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \right)$$

Вычисляем:

$$\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, \quad \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$

Таким образом:

$$q_{\psi} = \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, 0, 0, \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right)$$

Ось вращения для крена (обычно ось X):

$$q_{\gamma} = \left( \cos\left(\frac{\gamma}{2}\right), \sin\left(\frac{\gamma}{2}\right), 0, 0 \right) = \left( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right), \sin\left(\frac{\pi}{6}\right), 0, 0 \right)$$

Вычисляем:

$$\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$

Таким образом:

$$q_{\gamma} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0, 0 \right)$$

Теперь мы можем получить общий кватернион, умножив $q{\gamma}$:

$$q = q{\psi}$$

Используем формулу для умножения кватернионов:

$$q = \left( w1, y1 \right) \cdot \left( w2, y2 \right) = \left( w2 - x2 - y2 - z2, w2 + x2 + y2 - z2, w2 - x2 + y2 + z2, w2 + x2 - y2 + z2 \right)$$

Подставляем значения:

$$w1 = \frac{1}{2}, y1 = 0$$

$$w2 = 0, y2 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$

Вычисляем:

1. $w = w2 - x2 - y2 - z2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 0 - 0 - 0 = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$
2. $x = w2 + x2 + y2 - z2 = 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + 0 - 0 = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}$
3. $y = w2 - x2 + y2 + z2 = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + 0 + 0 = -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}$
4. $z = w2 + x2 - y2 + z2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + 0 - 0 + 0 = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

Таким образом, общий кватернион:

$$q = \left( \frac{\sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}, \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}, -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}, \frac{\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8} \right)$$

Угол плоского поворота $\theta$ можно найти по формуле:

$$\theta = 2 \cdot \arccos(w)$$

где $w$ — это первая компонента кватерниона.

Направляющие косинусы Эйлеровой оси $(ny, n_z)$ можно найти как:

$$ny = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}, \quad n_z = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$$

Таким образом, мы получили собственный кватернион, угол плоского поворота и направляющие косинусы Эйлеровой оси.