4. Функция общих издержек TC = 0.5q2 + 2q + 50. ​ Определить: а) функции издержек фирмы в коротком периоде; ​​​ б) при каком объеме выпуска ATC минимальны?

Для решения задачи, давайте сначала разберемся с функцией общих издержек (T...

Функция общих издержек задана как: \[ TC = 0.5q^2 + 2q + 50 \] Чтобы найти функцию средних издержек (ATC), нужно разделить общие издержки на количество произведенной продукции (q): \[ ATC = \frac{TC}{q} = \frac{0.5q^2 + 2q + 50}{q} \] Упрощаем: \[ ATC = 0.5q + 2 + \frac{50}{q} \] Чтобы найти объем выпуска, при котором средние издержки минимальны, нужно взять производную функции ATC по q и приравнять её к нулю: \[ \frac{d(ATC)}{dq} = 0 \] Находим производную: \[ \frac{d(ATC)}{dq} = 0.5 - \frac{50}{q^2} \] Приравниваем производную к нулю: \[ 0.5 - \frac{50}{q^2} = 0 \] Решаем уравнение: \[ 0.5 = \frac{50}{q^2} \] \[ q^2 = \frac{50}{0.5} = 100 \] \[ q = 10 \] Для проверки, что это действительно минимум, найдем вторую производную: \[ \frac{d^2(ATC)}{dq^2} = \frac{100}{q^3} \] Так как \( q 0 \), вторая производная всегда положительна, что подтверждает, что в точке \( q = 10 \) находится минимум. а) Функция средних издержек фирмы в коротком периоде: \[ ATC = 0.5q + 2 + \frac{50}{q} \] б) Объем выпуска, при котором ATC минимальны: \[ q = 10 \]