x-лаваш с ценой 5, y-шашлык с ценой 10. тратят на это 100. При этом небольшое количество товара Xmax-5 можно приобрести по льготной цене 3 Построить множество потребительских возможностей графически и алгебраически. Найти оптимальный выбор потребителя с

Для решения задачи начнем с формулировки ограничений и функции полезности.

Шаг 1: Определение ограничений

Пусть:
- \( x \) — количество лавашей
- \( y \) — количество шашлыков

Цена лаваша \( Px = ...y = 10 \). Потребитель имеет бюджет \( M = 100 \). Основное бюджетное ограничение можно записать как: \[ 5x + 10y \leq 100 \] Также у нас есть льготное предложение на лаваши. Максимальное количество лавашей, которое можно купить по льготной цене, равно \( X{x, льготный} = 3 \). 1. : Для построения графика бюджетной линии, найдем пересечения с осями: - Если \( y = 0 \): \[ 5x = 100 \implies x = 20 \] - Если \( x = 0 \): \[ 10y = 100 \implies y = 10 \] Таким образом, бюджетная линия проходит через точки \( (20, 0) \) и \( (0, 10) \). 2. : Если потребитель решит купить 5 лавашей по льготной цене, то: \[ 3 \cdot 5 + 10y \leq 100 \implies 15 + 10y \leq 100 \implies 10y \leq 85 \implies y \leq 8.5 \] Таким образом, если потребитель покупает 5 лавашей по льготной цене, он может купить до 8.5 шашлыков. Функция полезности задана как: \[ u = 5xy^2 \] Для нахождения оптимального выбора, мы можем использовать метод Лагранжа, чтобы максимизировать функцию полезности при условии бюджетного ограничения. Функция Лагранжа: \[ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = 5xy^2 + \lambda(100 - 5x - 10y) \] Теперь найдем частные производные и приравняем их к нулю: 1. \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 5y^2 - 5\lambda = 0 \implies \lambda = y^2\) 2. \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 10xy - 10\lambda = 0 \implies \lambda = xy\) 3. \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 100 - 5x - 10y = 0\) Теперь приравняем \( y^2 = xy \): \[ y^2 = xy \implies y(y - x) = 0 \] Это дает два случая: \( y = 0 \) или \( y = x \). Подставим \( y = x \) в бюджетное ограничение: \[ 5x + 10x = 100 \implies 15x = 100 \implies x = \frac{100}{15} \approx 6.67 \] Следовательно, \( y = 6.67 \). Проверим, можем ли мы использовать льготное предложение: - Если мы купим 5 лавашей по льготной цене, то: \[ 3 \cdot 5 + 10y \leq 100 \implies 15 + 10y \leq 100 \implies 10y \leq 85 \implies y \leq 8.5 \] Таким образом, оптимальный выбор потребителя будет: - \( x = 5 \) (лаваши по льготной цене) - \( y = 8.5 \) (шашлыки) Оптимальный выбор потребителя: - Количество лавашей \( x = 5 \) - Количество шашлыков \( y = 8.5 \) Графически это будет представлено как точка на бюджетной линии, где потребитель использует льготное предложение.