Предпочтения агента описываются функций полезности: 𝑈(𝑧̅) = 𝑧11/8 𝑧21/2 𝑧31/4. Бюджет агента составляет 840 рублей. Цены благ – 2, 4 и 3 рубля, соответственно. (а) Найти структуру и состав оптимального набора. (б) Вывести функции спроса на каждое благо.

Для решения данной задачи, начнем с анализа функции полезности и бюджета агента.

(а) Найти структуру и состав оптимального набора.

1. Функция полезности:
\[
U(z) = z1^{1/8} z2^{1/2} z_3^{1/4}
\]

2. Бюджетное ограничение:
\[
2z1 + 4z2 + 3z_3 = 840
\]

3. Найдем предельные полезности:
- Предельная полезность \( z_1 \):
\[
MU1 = \frac{\partial U}{\partial z1} = \frac{1}{8} z1^{-7/8} z2^{1/2} z_3^{1/4}
\]
- Предельная полезность \( z_2 \):
\[
MU2 = \frac{\partial U}{\partial z2} = \frac{1}{2} z1^...2^{-1/2} z_3^{1/4} \] - Предельная полезность \( z_3 \): \[ MU3} = \frac{1}{4} z2^{1/2} z_3^{-3/4} \] 4. : \[ \frac{MU1} = \frac{MU2} = \frac{MU3} \] Подставим цены: \[ \frac{\frac{1}{8} z2^{1/2} z1^{1/8} z3^{1/4}}{4} = \frac{\frac{1}{4} z2^{1/2} z_3^{-3/4}}{3} \] 5. : Упрощая, получим: \[ \frac{z3^{1/4}}{z1^{1/8} z1^{1/8} z3^{3/4}} = \frac{z2^{-1/2}}{12} \] Решив эти уравнения, мы можем выразить \( z2, z_3 \) через один из параметров. 6. : После нахождения соотношений, подставим их в бюджетное ограничение и решим для \( z2, z_3 \). Функции спроса можно получить, используя метод Лагранжа или оптимизацию с учетом бюджетного ограничения. 1. : \[ z1} = \frac{840 \cdot \frac{1}{8}}{2} = 52.5 \] \[ z2} = \frac{840 \cdot \frac{1}{2}}{4} = 105 \] \[ z3} = \frac{840 \cdot \frac{1}{4}}{3} = 70 \] Функции Энгеля показывают, как меняется спрос на каждое благо в зависимости от дохода. 1. : \[ z1} = \frac{Y \cdot \frac{1}{8}}{2} \] \[ z2} = \frac{Y \cdot \frac{1}{2}}{4} \] \[ z3} = \frac{Y \cdot \frac{1}{4}}{3} \] Для графиков функций спроса и функций Энгеля можно использовать координатные оси, где по оси X будет доход, а по оси Y - количество каждого блага. Таким образом, мы получили оптимальный набор, функции спроса и функции Энгеля для данного потребителя.